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一條雙曲線的左、右頂點分別為A₁，A₂，點M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點．
（1）求直線A₁M與A₂N交點的軌跡E的方程式；
（2）設直線l與曲線E相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標為（-2，0），若點Q（0，y）在線段AB的垂直平分線上，且．求y的值．

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已知點F₁、F₂分別是雙曲線=1的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若A、B和雙曲線的一個頂點構成的三角形為銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）
A．（1，1+）
B．（1，）
C．（-1，1+）
D．（1，2）

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一、填空題

1．； 2．；3．； 4．；5． 11； 6．210； 7．16； 8．③； 9．； 10．； 11．； 12．； 13．；  14．（結果為不扣分）.

二、解答題

15．（本小題滿分14分）

解：（1）50；0.04；0.10． ………… 6分

       （2）如圖．      ……………… 10分

       （3）在隨機抽取的名同學中有名

出線,．        ………… 13分

答：在參加的名中大概有63名同學出線．      

   ………………… 14分

16．（本小題滿分14分）

解：真，則有，即．              ------------------4分

真，則有，即．    ----------------9分

若、中有且只有一個為真命題，則、一真一假．

①若真、假，則，且，即≤； ----------------11分

②若假、真，則，且，即3≤．  ----------------13分

故所求范圍為：≤或3≤．                        -----------------14分

17．（本小題滿分15分）

解：（1）設方程有實根為事件．

數對共有對．                                   ------------------2分

若方程有實根，則≥，即．                 -----------------4分

則使方程有實根的數對有 共對．                                                        ------------------6分

所以方程有實根的概率．                          ------------------8分

（2）設方程有實根為事件．

，所以．           ------------------10分

方程有實根對應區域為，． -------------------12分

所以方程有實根的概率．                       ------------------15分

18．（本小題滿分15分）

解：(1)  ∴………………4分

(2)過的切線斜率．

∴切線方程為．

 準線方程為． …………………8分

∴．∴． ………………………………12分

在單調遞增，∴，．                     

∴的取值范圍是-．             ………………………………15分

19．（本小題滿分16分）

解：（1）設關于l的對稱點為，則且，解得，，即，故直線的方程為．由，解得．                   ------------------------5分

（2）因為，根據橢圓定義，得

，所以．又，所以．所以橢圓的方程為．                                     ------------------------10分

（3）假設存在兩定點為，使得對于橢圓上任意一點（除長軸兩端點）都有（為定值），即?，將代入并整理得…（＊）．

由題意，（＊）式對任意恒成立，所以，

解之得 或．

所以有且只有兩定點，使得為定值．   ---------------16分

（注：若猜出、點為長軸兩端點并求出定值，給3分）

20．（本小題滿分16分）

解：（1）．                       ------------------------2分

因為，令得；令得．所以函數的增區間為，減區間為．                                  ------------------------5分

（2）因為，設，則．----------6分

設切點為，則切線的斜率為，切線方程為即，由點在切線上知，化簡得，即．

所以僅可作一條切線，方程是．              ------------------------9分

（3），．                   

在上恒成立在上的最小值．--------------11分

①當時，在上單調遞減，在上最小值為，不符合題意，故舍去；               ------------------------12分

②當時，令得．

當時，即時，函數在上遞增，的最小值為；解得．                                       ------------------------13分

當時，即時，函數在上遞減，的最小值為，無解；                                                -----------------------14分

當時，即時，函數在上遞減、在上遞增，所以的最小值為，無解．                ------------------------15分

綜上，所求的取值范圍為．                     ------------------------16分