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正四面體的棱長為a，則它的外接球的表面積等于（   ）

（A）π a ²           （B）π a ²         （C）π a ²         （D）π a ²

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.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD中，底面邊長為a,側棱長為a.
（1）求它的外接球的體積；
（2）求它的內切球的表面積.

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已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長AB=6，側棱長，它的外接球的球心為O，點E是AB的中點，點P是球O的球面上任意一點，有以下判斷，
（1）PE長的最大值是9；（2）三棱錐P-EBC的最大值是；（3）存在過點E的平面，截球O的截面面積是3π；（4）三棱錐P-AEC₁體積的最大值是20．
正確的是    ．

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已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長AB=6，側棱長，它的外接球的球心為O，點E是AB的中點，點P是球O的球面上任意一點，有以下判斷，
（1）PE長的最大值是9；（2）三棱錐P-EBC的最大值是；（3）存在過點E的平面，截球O的截面面積是3π；（4）三棱錐P-AEC₁體積的最大值是20．
正確的是    ．

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一、選擇題： （每題5分，共50分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

小計

答案

D

D

B

C

C

C

B

C

A

C

二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

11． -5  12．7  13．（2，1） 14．例如：，分段函數也可（3分）；=a/3．（2分）

三、解答題:本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15．(12分)

已知：函數（）．解不等式：．

解：1）當時，即解，（２分）

即，（４分）不等式恒成立，即；（６分）

2）當時，即解（８分），即，（１０分）因為，所以．（１１分）

由1）、2）得，原不等式解集為．（１２分）

16．(本小題滿分12分)

解：１）

　　　　　　　　　　　　　　　（２分）　　　　　　　　　　　　　（４分）

（６分）

．（８分）

當時（９分），取最大值．（１０分）

２）當時，，即，（１１分）

解得，．(12分)

17．(本小題滿分14分)

1）證明：連接AC．

∵點A是點P在底面AC上的射影,(1分)

∴PA^面AC.(2分)

PC在面AC上的射影是AC.

正方形ABCD中,BD^AC,(3分)

∴BD^PC.(4分)

2)解:連接OS.

∵BD^AC,BD^PC,

又AC、PC是面PAC上的兩相交直線,

∴BD^面PAC. (6分)

∵OSÌ面PAC,

∴BD^OS.(7分)

正方形ABCD的邊長為a，BD=，（8分）

∴DBSD的面積．（9分）

OS的兩個端點中，O是定點，S是動點．

∴當取得最小值時，ＯＳ取得最小值，即OS^PC．（10分）

∵PC^BD， OS、BD是面BSD中兩相交直線，

∴PC^面BSD．（12分）

又PCÌ面PCD，∴面BSD^面PCD．（13分）

∴面BSD與面PCD所成二面角的大小為90°．（14分）

18．(本小題滿分14分)

1）解：設S（x，y），SA斜率=，SB斜率=，（2分）

由題意，得，（4分）

經整理，得．（６分，未指出x的范圍，扣1分）

點Ｓ的軌跡Ｃ為雙曲線（除去兩頂點）．（7分）

2）解：假設C上存在這樣的兩點P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），則PQ直線斜率為－1，

且Ｐ、Ｑ的中點在直線ｘ－ｙ－１＝０上．

設PQ直線方程為：ｙ＝－ｘ＋ｂ，

由整理得．（９分）

其中時，方程只有一個解，與假設不符．

當時，D＞０，D＝

＝，

所以，（＊）（１０分）

又，所以，代入ｙ＝－ｘ＋ｂ，

得，

因為Ｐ、Q中點在直線ｘ－ｙ－１＝０上，

所以有：，整理得，（＊＊）（１１分）

解（＊）和（＊＊），得－１＜ｂ＜０，０＜ｔ＜１，（１３分）

經檢驗，得：當ｔ取（０，１）中任意一個值時，曲線Ｃ上均存在兩點關于直線ｘ－ｙ－１＝０對稱．（１４分）

19．(本小題滿分14分)  

解：甲選手勝乙選手的局數作為隨機變量ξ，它的取值共有0、1、2、3四個值.

1)當ξ=0時,本場比賽共三局,甲選手連負三局,

P(ξ=0)=（1-0.6）³=0.064;(2分)

2)當ξ=1時,本場比賽共四局,甲選手負第四局,且前三局中,甲勝一局,

P(ξ=1)=;(4分)

3)當ξ=2時,本場比賽共五局,甲選手負第五局,且前四局中,甲勝二局,

P(ξ=2)=; (6分)

4)當ξ=3時,本場比賽共三局、或四局、或五局．其中共賽三局時，甲連勝這三局；共賽四局時，第四局甲勝，且前三局中甲勝兩局；共賽五局時，第五局甲勝，且前四局中甲勝兩局；

P(ξ=３)==0.68256(8分)

ξ的概率分布列為:

ξ

0

1

2

3

P

0.064

0.1152

0.13824

0.68256

(10分)

Eξ=0´P(ξ=0)+ 1´ P(ξ=1)+2´ P(ξ=2)+3´ P(ξ=３)    (12分)

=0´0.064+1´0.1152+2´0.13824+3´0.68256=2.43926»2.4394.(14分)

20．(本小題滿分14分)

解：（1）由題意知，（1分）

得，（3分）∴ （5分）                       

（2）（6分）

     （8分）                  

（3）設存在S，P，r,（9分）

          （10分）                        

即 

 （＊）   （１２分）        

因為s、p、r為偶數

1+2，（＊）式產生矛盾．所以這樣的三項不存在．（１４分）

       以上答案及評分標準僅供參考，如有其它解法請參照給分．