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如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點P和居民區(qū)O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且，點P到平面α的距離PH=0.4（km）．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用、從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km、當(dāng)山坡上公路長度為lkm（1≤l≤2）時，其造價為（l²+1）a萬元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），．
（I）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小；
（II）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最�。�
（III）在AB上是否存在兩個不同的點D'，E'，使沿折線PD'E'O修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結(jié)論、

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應(yīng)的分數(shù)．

      2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)．

4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

B

A

B

C

C

D

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

9．    10．        11．         12.  

13.           14．     15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16．(本小題滿分12分)          

解：（1）∵

                                                    ……2分

                                              ……4分     

             .                                             ……6分

∴.                                                     ……8分

(2) 當(dāng)時, 取得最大值, 其值為2 .                    ……10分

此時，即Z.                      ……12分

17．(本小題滿分12分)

解：（1）設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件，.        ……3分   

即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為．                             ……4分    

（2）的可能取值為1，2，3．                                       ……5分   

=，                                                

=，                                            

=，                                     ……8分     

∴的概率分布列為：

1

2

3

……10分

∴=．                          ……12分

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵點A、D分別是、的中點，

∴.                                     ……2分                   

∴∠=90º.

∴.

∴ ,                                                   

∵,

∴⊥平面.                                         ……4分     

∵平面,

∴.                                             ……6分      

（2）法1：取的中點，連結(jié)、．

∵,

∴.                                      

∵,

∴平面.

∵平面,

∴.                      ……8分

∵

∴平面.

∵平面,

∴.

∴∠是二面角的平面角.                            ……10分 

在Rt△中, ，

在Rt△中, ，

.                             ……12分          

∴ 二面角的平面角的余弦值是.                ……14分         

法2：建立如圖所示的空間直角坐標系．

則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,      ……8分

設(shè)平面的法向量為=（x，y，z），則：

，                     ……10分

令，得，

∴=（1，1，－1）.

顯然，是平面的一個法向量，=（）．  ……12分            

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                 ……14分        

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,               ……2分                                       

      ∵,

∴.                      ……4分                 

∴所求橢圓的方程為.                       ……6分              

（2）∵ 點關(guān)于直線的對稱點為，

∴                           ……8分                  

解得：，.                 ……10分                

∴.                                     ……12分            

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則.

∴的取值范圍為.                ……14分                 

20.（本小題滿分14分）

解：（1）數(shù)表中前行共有個數(shù)，

即第i行的第一個數(shù)是，                         ……2分             

         ∴＝．

∵，＝2010，

∴ i＝11．                                              ……4分       

令,    

解得．                          ……6分            

（2）∵

．                                    ……7分     

∴．                   

當(dāng)時, , 則;

當(dāng)時, , 則;

當(dāng)時, , 則;

當(dāng)時, 猜想: .                         ……11分        

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.

① 當(dāng)時,, 即成立;

② 假設(shè)當(dāng)時, 猜想成立, 即,

  則,

∵,

∴.

即當(dāng)時，猜想也正確.

由①、②得當(dāng)時, 成立.

當(dāng)時,.                             ……13分              

綜上所述, 當(dāng)時, ; 當(dāng)時,.  ……14分       

另法( 證明當(dāng)時, 可用下面的方法):

當(dāng)時, C + C + C+ C

                     .

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當(dāng)時，，

∴.                    

       令=0, 得 .                    ……2分                                  

當(dāng)時,, 則在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,, 則在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,, 在上單調(diào)遞增.       ……4分             

∴ 當(dāng)時, 取得極大值為;

當(dāng)時, 取得極小值為.       ……6分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                           ……7分              

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調(diào)遞增 .                                                    

∵f（0），,                  

∴當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．     ……9分  

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)為x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

當(dāng)變化時，的取值情況如下表：                       

x

x₁

（x₁，x₂）

x₂

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

                                      ……11分

∵,

∴.

∴