題目列表(包括答案和解析)
已知函數
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求
在區間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當
時，
，令
得
，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設
，則
，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當時，，令得
當
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當
時, 
.當
時, 
,最大值為0；
當
時, 在
上單調遞增。∴在最大值為
。
綜上，當
時，即
時，在區間上的最大值為2；
當
時，即
時，在區間上的最大值為。
（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設，則，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
，若目標函數x=y-ax僅在點（5，3）處取得最小值，則實數a的取值范圍為（ ）。說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
B
C
C
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
9．
10．
11．
12. 
13. 
14．
15．2
說明：第14題答案可以有多種形式，如可答
或
Z
等, 均給滿分.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本小題滿分12分)
解：（1）∵
……2分
……4分
.
……6分
∴
.
……8分
(2) 當
時, 
取得最大值, 其值為2 .
……10分
此時
，即
Z.
……12分
17．(本小題滿分12分)
解：（1）設“這箱產品被用戶接收”為事件
，
. ……3分
即這箱產品被用戶接收的概率為
．
……4分
（2）
的可能取值為1，2，3．
……5分
=
，
=
，
=
，
……8分
∴的概率分布列為：
1
2
3
……10分
∴
=
．
……12分
18．(本小題滿分14分)
解：（1）∵點A、D分別是
、
的中點，
∴
.
……2分
∴∠
=90º.
∴
.
∴ 
,
∵
,
∴
⊥平面
.
……4分
∵
平面,
∴
.
……6分
（2）法1：取
的中點
，連結
、
．
∵
,
∴
.
∵
,
∴
平面
.
∵
平面,
∴
.
……8分
∵
∴
平面
.
∵
平面,
∴
.
∴∠
是二面角
的平面角.
……10分
在Rt△
中, 
，
在Rt△中, 
，
.
……12分
∴ 二面角的平面角的余弦值是
.
……14分
法2：建立如圖所示的空間直角坐標系
．
則
（－1，0，0），
（－2，1，0），（0，0，1）.
∴
=（－1，1，0），
=（1，0，1）,
……8分
設平面
的法向量為
=（x，y，z），則：
， ……10分
令
，得
，
∴=（1，1，－1）.
顯然，
是平面
的一個法向量，=（
）． ……12分
∴cos<，>=
．
∴二面角的平面角的余弦值是.
……14分
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,
……2分
∵
,
∴
.
……4分
∴所求橢圓的方程為
.
……6分
（2）∵ 點
關于直線
的對稱點為
，
∴ 
……8分
解得：
，
.
……10分
∴
.
……12分
∵
點在橢圓:上,
∴
, 則
.
∴
的取值范圍為
.
……14分
20.（本小題滿分14分）
解：（1）數表中前
行共有
個數，
即第i行的第一個數是
，
……2分
∴
＝
．
∵
，＝2010，
∴ i＝11． ……4分
令
,
解得
．
……6分
（2）∵
．
……7分
∴
．
當
時, 
, 則
;
當
時, , 則;
當
時, , 則;
當
時, 猜想:
.
……11分
下面用數學歸納法證明猜想正確.
① 當
時,
, 即成立;
② 假設當
時, 猜想成立,
即
,
則
,
∵
,
∴
.
即當
時，猜想也正確.
由①、②得當
時, 成立.
當時,
.
……13分
綜上所述, 當
時, ; 當時,. ……14分
另法( 證明當時, 可用下面的方法):
當時, 
C
+ C
+ C
+ C
.
21. (本小題滿分14分)
解：（1）當
時，
，
∴
.
令=0, 得 
.
……2分
當
時,
, 則
在
上單調遞增;
當
時,
, 則在
上單調遞減;
當
時,, 在
上單調遞增.
……4分
∴ 當
時, 取得極大值為
;
當
時, 取得極小值為
. ……6分
（2） ∵ = 
，
∴△= 
= 
.
① 若a≥1，則△≤0， ……7分
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調遞增 .
∵f（0）
，
,
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． ……9分
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
當
變化時，
的取值情況如下表：
x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
……11分
∵
,
∴
.
∴
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單調遞減