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如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中點，．
（I）證明AB₁∥平面DBC₁
（II）求異面直線AB₁與BC₁所成的角
（III）求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角的度數．

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如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中點，．
（I）證明AB₁∥平面DBC₁
（II）求異面直線AB₁與BC₁所成的角
（III）求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角的度數．

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如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中點，BC=

2

AA1．
（I）證明AB₁∥平面DBC₁
（II）求異面直線AB₁與BC₁所成的角
（III）求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角的度數．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

D

B

C

B

C

A

C

A

B

C

D

二、填空題

13. 192     14. 15      15.     16. ②③⑤

三、解答題

17. 解：（Ⅰ）設三角形三內角A、B、C對應的三邊分別為a, b, c，

∵，∴，由正弦定理有,………………3分

又由余弦定理有，∴，即，

所以為Rt，且. ………………6分

（Ⅱ）又， 令a=4k, b=3k (k>0). ………………8分

則，∴三邊長分別為a=4，b=3，c=5. ………………10分

18. （Ⅰ）如圖，首先從五種不同顏色的鮮花中任選四種共種，

用四種顏色鮮花布置可分兩種情況：區域A、D同色和區域B、E同色，

皆有種，………………3分

故恰用四種不同顏色的鮮花布置的不同擺放方案共有種. ………………6分

（Ⅱ）設M表示事件“恰有兩個區域用紅色鮮花”，

如圖，當區域A、D同色時，共有種；

當區域A、D不同色時，共有種；

因此，所有基本事件總數為：180+240=420種. ………………8分

它們是等可能的.又因為A、D為紅色時，共有種；

B、E為紅色時，共有種；

因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72種．………………10分

所以，恰有兩個區域用紅色鮮花的概率=．………………12分

19. （Ⅰ）延長至M，使，連，則，連，則或其補角就是異面直線與所成角（設為），………………2分

不妨設AA₁=AB=1，則在中，，

所以

故異面直線與所成角的余弦值為.………………6分

   （Ⅱ）是正三棱柱，平面，

   平面，平面平面，

   過點作于點，則平面，

過作于，由三垂線定理得，

故∠為二面角的平面角. ………………9分

不妨設AA₁=AB=2，

則，在△中，.

    二面角的正弦值為.………………12分

20. 解：（Ⅰ）由已知，當時，   ……………… 2分

.     經檢驗時也成立. ………………4分

由，得，∴p＝.

∴ .……………… 6分

（Ⅱ）由（1）得，.       ……………… 7分

2  ；              ①

.    ②   ………………9分

②－①得，

＝＝.       ………………12分

21. 解：（Ⅰ）f′(x)=3ax²+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0，………………2分

        即   解得a=1，b=0.∴f(x)=x³－3x. ………………4分

   （Ⅱ）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

         ∵曲線方程為y=x³－3x，∴點A（1，m）不在曲線上.

設切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標滿足

因，故切線的斜率為，

整理得.………………7分

∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，

∴關于x₀的方程=0有三個實根.

設g(x­₀)= ，則g′(x₀)=6，

由g′(x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1. ………………9分

∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減.

∴函數g(x₀)= 的極值點為x₀=0，x₀=1.

∴關于x₀方程=0有三個實根的充要條件是

解得－3<m<－2.

故所求的實數a的取值范圍是－3<m<－2. ………………12分

22. 解：（Ⅰ）∵，

設O關于直線 的對稱點為的橫坐標為 ，………………2分

又直線得線段的中點坐標（1，－3）.

∴，

∴橢圓方程為.………………5分

（Ⅱ）設點，當直線l的斜率存在時，

則直線l的方程為，………6分

代入得：

, ……①

又 ，①可化為：

,………………8分

由已知，有

，

∵………………10分

同理

解得 ，

∴……………………11分

故直線ME垂直于x軸，由橢圓的對稱性知點M、E關于x軸對稱，而點B在x軸上，

∴|BM|=|BE|，即△BME為等腰三角形. 

當直線l的斜率不存在時，結論顯然成立.……………………12分