題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
已知
(I)求
的值；
(II)求
的值。
（本小題滿分12分）
某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(稱為B類工人），現用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調查他們的生產能力（此處生產能力指一天加工的零件數）。
（I）求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A類工人，乙為B類工人；
（II）從A類工人中的抽查結果和從B類工人中的抽插結果分別如下表1和表2.
表1：
生產能力分組 |
|
|
|
|
|
人數 | 4 | 8 |
| 5 | 3 |
表2：
生產能力分組 |
|
|
|
|
人數 | 6 | y | 36 | 18 |
（i）先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更小？（不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結論）
（ii）分別估計A類工人和B類工人生產能力的平均數，并估計該工廠工人的生產能力的平均數，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）
（本小題滿分12分）已知橢圓
的離心率為
，過右焦點F的直線
與
相交于
、
兩點，當的斜率為1時，坐標原點
到的距離為
（I）求
，
的值；
（II）上是否存在點P，使得當繞F轉到某一位置時，有
成立？
若存在，求出所有的P的坐標與的方程；若不存在，說明理由。
（本小題滿分12分）
已知雙曲線C的方程為
，離心率
，頂點到漸近線的距離為
。
（I）求雙曲線C的方程；
(II)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若
，求
面積的取值范圍。
（本小題滿分12分）
已知
函數
。
（I）求函數
的定義域，并判斷的單調性；
（II）若
（III）當
（
為自然對數的底數）時，設
，若函數
的極值存在，求實數
的取值范圍以及函數的極值。
一、選擇題（每小題5分，共50分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
D
C
D
B
C
A
二、填空題（每小題4分，共24分）
11 
12 10 13 144
14 
15 
16 540
三、 解答題（共76分，以下各題文累積得分，其他解法請相應給分）
17解：(I)由題意得
，即
，
，……3分
又
，
，……4分
……6分
（II）
，
于是
又
……8分
又
……10分
……12分
18 解：(I) 最大編號
分別為3，4，5，6。
，……2分
……4分
，……6分 
……8分，即分布列為
3
4
5
6
（II）的數字期望
……10分
的方差
……12分
19 解：(I)證明：連結
是長方體，
面
又
面，
，又是正方形，
面
，即
……3分
又
，
……6分
（II）如圖，以
為原點建系，由題意的
……6分
于是
，設
面
不妨設
由
……8分
設
面
，不妨設
……9分
若
與
的夾角
，則
……11分
據分析二面角
是銳角，
二面角的余弦值是
……12分
20 解：(I)由題意知
故
……1分
又
設橢圓中心
關于直線
的對稱點為
，
于是
方程為
……2分
由
得線段的中點為（2，-1），從而的橫坐標為4
故
橢圓的方程為
=1……4分
（II）由題意知直線
存在斜率，設直線的方程為
并整理得
①……6分
由
，得
又
不合題意
……8分
設點
，則
由①知
……9分
直線
方程為
……10分
令
得
，將
代入
整理得 
，再將
，
代入計算得
直線 
軸相交于頂點（1，0），……12分
21解：(I)
……2分
① 
若
,則當
或
時
時，
內是增函數，在 
內是減函數 ，……4分
② 若
內是增函數，在
內是減函數……6分
（II）由題意知
得
……7分
恰有一根（含重根 ）
……8分
又
的值域為
和
內是增函數，
在
內是增函數，
由題意的
解得
……12分
當
內是增函數，在
內是增函數
由題意得
解得
綜上知實數
的取值范圍為
……14分
22 解（I）設
公差為
，由
得
……1分
數列
為3，5，7，9，7，5，3，……2分
（II）
……3分
又
=
……4分
（III）所有可能的“對稱數列”是①1，2，22
②
③
④
……9分
當
對于②當
當
對于③當
時，
當
分
對于④當時，
當
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