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定義在（0，+∞）的函數(shù)，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在點x=1處連續(xù)，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）為（0，1）上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍，并判斷此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是否為單調(diào)函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈（0，1）時，記g（x）=lnf（x）+x²-ax，試證明：對n∈N^*，當(dāng)n≥2時，有．

定義在（0，+∞）的函數(shù)，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在點x=1處連續(xù)，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）為（0，1）上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍，并判斷此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是否為單調(diào)函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈（0，1）時，記g（x）=lnf（x）+x²-ax，試證明：對n∈N^*，當(dāng)n≥2時，有．

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+aln（2-x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域及其導(dǎo)數(shù)f'（x）；
（Ⅱ）當(dāng)a≥-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時，令g（x）=f（x）+mx（m＞0），若g（x）在（0，1]上的最大值為

1

2

，求實數(shù)m的值．

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N₊）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函數(shù)，且對于（0，1]內(nèi)的任意實數(shù)x₁，x₂當(dāng)k為偶數(shù)時，恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)k是偶數(shù)時，函數(shù)h(x)=f′(x)-x+

3

x

，求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N₊）．