13．在等比數列中.若..成等差數列.則公比q= ．【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

設等差數列{a_n}的前n項和是S_n，已知S₃=9，S₆=36．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列？若存在，求出m和k的值，若不存在，說明理由；
（3）設數列{b_n}的通項公式為b_n=3n-2．集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}．將集合A∪B中的元素從小到大依次排列，構成數列c₁，c₂，c₃，…，求{c_n}的通項公式．

在等差數列{a_n}和等比數列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差數列，a₂，b₂，a₃+2成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=abn，數列{c_n}的前n和為S_n，若

S2n+4n

Sn+2n

＞an+t對所有正整數n恒成立，求常數t的取值范圍．

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設等差數列{a_n}的前n項和是S_n，已知S₃=9，S₆=36．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列？若存在，求出m和k的值，若不存在，說明理由；
（3）設數列{b_n}的通項公式為b_n=3n-2．集合A={x|x=a_n，n∈N^}，B={x|x=b_n，n∈N^}．將集合A∪B中的元素從小到大依次排列，構成數列c₁，c₂，c₃，…，求{c_n}的通項公式．

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在等差數列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃=7，記數列{

anan+1

}的前n項和為S_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_ntS_n成等比數列？若存在，求出所有符合條件的m，n值；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．

13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當且僅當時取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，當且僅當時取＂＝＂．

故△ABC面積取最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）設袋中有黑球n個，則每次取出的一個球是黑球的概率為， 3分

設“連續取兩次，都是黑球”為事件A，∴，????????????????????????????? 5分

∴，∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一個球，取到紅球的概率是．????????????????????????????? 7分

設“連續取4次球，取到紅球恰為2次”為事件B，“連續取4次球，取到紅球恰為3次”為事件C，

∴；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴取到紅球恰為2次或3次的概率為．

故連續取4次球，取到紅球恰為2次或3次的概率等于.???????????????????????????????????? 12分

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等邊三角形，設O是AA₁的中點，連接BO，則BO⊥AA₁．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵側面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面積為，知C到AA₁的距離為，，∴△AA₁C₁是等邊三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB兩兩垂直，以O為原點，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，．則，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

設是平面ABC的一個法向量，

則即

令，則．設A₁到平面ABC的距離為d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC₁的一個法向量．∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ）證明：時，，；????????????????????????????????????????????????? 1分

時，，所以，????????????????????????????????????????? 2分

即數列是以2為首項，公差為2 的等差數列．????????????????????????????????????????????? 3分

∴，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

當時，，當時，．?????????????????????????????? 5分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）當時，，結論成立．??????????????????????????????????????????????? 7分

當時，????????????????????? 8分

＝

????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

綜上所述：．?????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．解：（Ⅰ）∵，∴．比較系數得，，，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

∴，，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，令，得或或．

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄋ

∴函數有極大值，，極小值．?????????????????? 4分

∵函數在區間上存在極值，

∴或或???????????????????????????????????????????? 5分

解得或或．

故實數．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅲ）函數的圖象與坐標軸無交點，有如下兩種情況：

（?）當函數的圖象與x軸無交點時，必須有：

即???????????????????????????????????????? 7分

而，函數的值域為，

∴解得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（?）當函數的圖象與y軸無交點時，必須有：

即而有意義，???????? 9分

∴即解得．????????????????????????????????????????? 10分

由（?）、（?）知，p的范圍是，

故實數p的取值范圍是．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）設，，，，

，，，，

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵，∴，∴，∴．??????????????????????????? 4分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，． ???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴橢圓的方程為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????????????????????????????? 7分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個不同點，設，

，

∴，，?????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴，

由，???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

．???????????????????????????????????????? 11分

（或）．

設，則，，，

∴S關于u在區間單調遞增，又，，?????????????????????????????? 13分

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分

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