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已知函數f(x)=

1-x

ax

+lnx（注：ln2≈0.693）
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求正實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，若直線y=b與函數y=f（x）的圖象在[

1

2

，2]上有兩個不同交點，求實數b的取值范圍：
（3）求證：對大于1的任意正整數n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

已知函數f(x)=

1-x

x

+lnx
（1）求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；（參考數據：ln2≈0.7）
（2）求證：ln

n

n-1

＞

1

n

；
（3）求證：對大于1的任意正整數n，都有 lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．