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如圖，已知是底面為正方形的長(zhǎng)方體，
，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）試判斷不論點(diǎn)在上的任何位置，是否都有平面
垂直于平面？并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求與平面所成角的正切值的最大值．

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如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長(zhǎng)方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，P為AD₁的中點(diǎn)，（1）求證：直線C₁P∥平面AB₁C；（2）求異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值．

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一．選擇題：BACAC  DADBC

解析：

1.，復(fù)數(shù)  對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它與原點(diǎn)的距離是，故選B.

2．，但.故選A.

4．把直線向下平移二個(gè)單位，則點(diǎn)到直線的距離就相等了，故點(diǎn)的軌跡為拋物線，它的方程為，選A．

5．依題意知，，，又，，，，故選C.

6．當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，故選D.

7．∵是等差數(shù)列，，，∴，，

∴，故選A.

8．由三視圖知該工作臺(tái)是棱長(zhǎng)為80的正方體上面圍上一塊矩形和兩塊直角三角形合

板，如右圖示，則用去的合板的面積故選D．

9．，，故選B.

10．由，可得： 知滿足事件A的區(qū)域的面積

，而滿足所有條件的區(qū)域的面積：，從而，

得：，故選C．

二．填空題： 11. 18;12. ;13.;14. ；15.、.

解析：11．按系統(tǒng)抽樣的方法，樣本中4位學(xué)生的座位號(hào)應(yīng)成等差數(shù)列，將4位學(xué)生的座位號(hào)按從小到大排列，顯然6，30不可能相鄰，也就是中間插有另一位同學(xué)，其座位號(hào)為（6＋30）÷2＝18，故另一位同學(xué)的座位號(hào)為18．

12．

13．設(shè)人經(jīng)過(guò)時(shí)間ts后到達(dá)點(diǎn)B,這時(shí)影長(zhǎng)為AB=S，如圖由平幾的知識(shí)

可得，=，由導(dǎo)數(shù)的意義知人影長(zhǎng)度

的變化速度v＝（m/s）

14．曲線為拋物線段

借助圖形直觀易得

15.由切割線定理得,,

連結(jié)OC，則,,

三．解答題：

16.解：（1）---3分

∴函數(shù)的最小正周期為，值域?yàn)?sub>。--------------------------------------5分

（2）解法1：依題意得： ---------------------------6分

∵   ∴

∴＝-----------------------------------------8分

＝

∵＝

∴＝------------------------------------------------------------------------------13分

解法2：依題意得： 得----①-----------7分

∵   ∴

∴＝---------------------------------9分

由＝得-----------②----------------10分

①+②得，∴＝-------------------------13分

解法3：由得，--------------------7分

兩邊平方得，，--------------------------9分

∵  ∴由知

∴--------------------------------------11分

由，得

∴ ∴＝．---------------------------------13分

17．解：（1）∵是長(zhǎng)方體  ∴側(cè)面底面

∴四棱錐的高為點(diǎn)P到平面的距離---------------------2分

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，四棱錐的高取得最大值，這時(shí)四棱錐體積最大----------------------------------------------------------------------------------------------------3分

在中∵ ∴，------------- 4分

---------------------------------------------------5分

∴-----------------------------------7分

（2）不論點(diǎn)在上的任何位置，都有平面垂直于平面.-------8分

證明如下：由題意知，，

又    平面

又平面   平面平面．------------------- 13分

18．解：（1）設(shè)“兩個(gè)編號(hào)和為8”為事件A,則事件A包含的基本事件為（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5個(gè)，又甲、乙兩人取出的數(shù)字共有6×6＝36（個(gè)）等可能的結(jié)果，

故-----------------------------------------------------------------6分

（2）這種游戲規(guī)則是公平的。----------------------------------------------------------------------------7分

設(shè)甲勝為事件B,乙勝為事件C，則甲勝即兩編號(hào)和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)有18個(gè)：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)

所以甲勝的概率,乙勝的概率＝---------------------------11分

所以這種游戲規(guī)則是公平的。---------------------------------------------------------------------------------12分

19．解：（1）由橢圓的方程知，∴點(diǎn)，，

設(shè)的坐標(biāo)為，

∵FC是的直徑，∴

∵  ∴ -------------------------2分

∴，-------------------------------------------------3分

解得 -----------------------------------------------------------------------5分

∴橢圓的離心率---------------------------------6分

（2）∵過(guò)點(diǎn)F,B,C三點(diǎn)，∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，F(xiàn)C的垂直平分線方程為--------①-----------------------------------7分

∵BC的中點(diǎn)為，

∴BC的垂直平分線方程為-----②---------------------9分

由①②得，即--------------------11分

∵P在直線上，∴

∵  ∴--------------------------------------------------13分

由得

∴橢圓的方程為------------------------------------------------------------------14分

20.解：（1）當(dāng)時(shí)，由得，

；（且）------------------------------------------------------2分

當(dāng)時(shí)，由.得--------------------------------------4分

∴---------------------------5分

（2）當(dāng)且時(shí)，由<0,解得，---------------------------6分

當(dāng)時(shí)，------------------------------8分

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（－1，０）和（０，1）-----------------------------------------------9分

（3）對(duì)，都有即，也就是對(duì)恒成立，-------------------------------------------11分

由（2）知當(dāng)時(shí)，

∴函數(shù)在和都單調(diào)遞增-----------------------------------------------12分

又，

當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，

同理可得，當(dāng)時(shí)，有，

綜上所述得，對(duì)， 取得最大值2；

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.----------------------------------------------------------------14分

21．解：（1）由得

∴或--------------------------------------2分

∵，∴不合舍去-------------------------------------------3分

由得

方法1：由得

∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列----------------------5分

〔方法2：由得

當(dāng)時(shí)

∴（）

∴數(shù)列是首項(xiàng)為