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解：（1）如圖①AH=AB

（2）數量關系成立.如圖②，延長CB至E，使BE=DN

∵ABCD是正方形

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°

∴Rt△AEB≌Rt△AND

∴AE=AN，∠EAB=∠NAD

∴∠EAM=∠NAM=45°

∵AM=AM

∴△AEM≌△ANM

∵AB、AH是△AEM和△ANM對應邊上的高，

∴AB=AH

（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，

得到△ABM和△AND

∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°

分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCE．

由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.                          

  設AH=x，則MC=,  NC=                             圖②

在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得

                                    

∴

解得.（不符合題意，舍去）

∴AH=6.

解：（1）如圖，與互相垂直平分．          （1分）

證明如下：連結、，

∵ //，

∴四邊形是平行四邊形．          （2分）

⊥，

∴⊥，

∵∠=90º，為的中點，

∴，                                          （2分）

∴四邊形是菱形．                                        （1分）

∴與互相垂直平分．

解：（2）設，則，．         （2分）

在Rt△中，∵，                           （1分）

∴．                                         （1分）

                         （1分）

∴．                                                 （2分）

解：（1）由拋物線C₁：得頂點P的坐標為（2，5）………….1分

∵點A（－1，0）在拋物線C₁上∴.………………2分

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G..

∵點P、M關于點A成中心對稱,

∴PM過點A，且PA＝MA..

∴△PAH≌△MAG..

∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.

∴頂點M的坐標為（，5）.………………………3分

∵拋物線C₂與C₁關于x軸對稱，拋物線C₃由C₂平移得到

∴拋物線C₃的表達式.  …………4分

（3）∵拋物線C₄由C₁繞x軸上的點Q旋轉180°得到

∴頂點N、P關于點Q成中心對稱.

 由（2）得點N的縱坐標為5.

設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R.

∵旋轉中心Q在x軸上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，點E坐標為（，0），H坐標為（2，0），R坐標為（m，－5）.

根據勾股定理，得

     

  

       

①當∠PNE＝90º時，PN²+ NE²＝PE²，

解得m＝，∴N點坐標為（，5）

②當∠PEN＝90º時，PE²+ NE²＝PN²，

解得m＝，∴N點坐標為（，5）.

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ………7分

綜上所得，當N點坐標為（，5）或（，5）時，以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．·················· 2分

拋物線的對稱軸是：x=1．······················· 3分

（2）①設直線BC的函數關系式為：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

解得：k= -1，b=3．

所以直線BC的函數關系式為：．

當x=1時，y= -1+3=2，∴E（1，2）．

當時，，

∴P（m，m+3）．·························· 4分

在中，當時，　

∴

當時，∴········· 5分

∴線段DE=4-2=2，線段···· 6分

∵

∴當時，四邊形為平行四邊形．

由解得：（不合題意，舍去）．

因此，當時，四邊形為平行四邊形．··········· 7分

②設直線與軸交于點，由可得：

∵························ 8分

即．

·········· 9分

解：（1）點C的坐標為.

∵ 點A、B的坐標分別為，

            ∴ 可設過A、B、C三點的拋物線的解析式為.   

            將代入拋物線的解析式，得.

            ∴ 過A、B、C三點的拋物線的解析式為.

（2）可得拋物線的對稱軸為，頂點D的坐標為   

，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G.

直線BC的解析式為.

設點P的坐標為.

解法一：如圖8，作OP∥AD交直線BC于點P，

連結AP，作PM⊥x軸于點M.

∵ OP∥AD，

∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.

  ∴ ，即.

  解得.  經檢驗是原方程的解.

  此時點P的坐標為.

但此時，OM＜GA.

  ∵

      ∴ OP＜AD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，

      ∴ 直線BC上不存在符合條件的點P. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分

            解法二：如圖9，取OA的中點E，作點D關于點E的對稱點P，作PN⊥x軸于

點N. 則∠PEO=∠DEA，PE=DE.

可得△PEN≌△DEG ．

由，可得E點的坐標為.

NE=EG=， ON=OE－NE=，NP=DG=.

∴ 點P的坐標為.∵ x=時，，

∴ 點P不在直線BC上.

                   ∴ 直線BC上不存在符合條件的點P .

 

（3）的取值范圍是.