題目列表(包括答案和解析)
如圖，
，
，…，
，…是曲線
上的點(diǎn)，
，
，…，
，…是
軸正半軸上的點(diǎn)，且
，
，…，
，…
均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（
為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）寫出
、
和
之間的等量關(guān)系，以及、和
之間的等量關(guān)系；
（2）求證：
（
）；
（3）設(shè)
，對(duì)所有，
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
【解析】第一問利用有
，
得到
第二問證明：①當(dāng)
時(shí)，可求得
，命題成立；②假設(shè)當(dāng)
時(shí)，命題成立，即有
則當(dāng)
時(shí)，由歸納假設(shè)及
，
得
第三問
．………………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，
最大為
，即
解：（1）依題意，有，，………………4分
（2）證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立；
……………2分
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有，……………………1分
則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，
得．
即
解得
（
不合題意，舍去）
即當(dāng)時(shí)，命題成立． …………………………………………4分
綜上所述，對(duì)所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即
．……………2分
由題意，有
．
所以，
已知函數(shù) 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點(diǎn) 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對(duì)任意 
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問中，利用當(dāng)
時(shí)，
．
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（
），
則
，
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：
第二問中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．
，
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（），
則，
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">，所以
恒成立，
故
在
上單調(diào)遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當(dāng)
時(shí)，在
上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
即．
……10分
（2）當(dāng)
時(shí)，令
，對(duì)稱軸
，
則
在上單調(diào)遞增，又
① 當(dāng)
，即
時(shí)，
在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
即，不合題意，舍去
②當(dāng)
時(shí)，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
設(shè)橢圓 
：
（
）的一個(gè)頂點(diǎn)為
，
，
分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率
，過橢圓右焦點(diǎn)
的直線 
與橢圓 
交于
，
兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線 ，使得
，若存在，求出直線
的方程；若不存在，說明理由；
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。（1）中橢圓的頂點(diǎn)為
，即
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714546570844292_ST.files/image015.png">，得到
，然后求解得到橢圓方程（2）中，對(duì)直線分為兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，聯(lián)立方程組，結(jié)合得到結(jié)論。
解：（1）橢圓的頂點(diǎn)為，即
，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
--------4分
（2）由題可知,直線與橢圓必相交.
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意． --------5分
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)存在直線為
，且
，
.
由
得
， ----------7分
，
，
=
所以
，
----------10分
故直線的方程為
或
即
或
已知函數(shù)
的最小值為0，其中
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的
有
≤
成立，求實(shí)數(shù)
的最小值；
（Ⅲ）證明
（
）.
【解析】(1)解：
的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">
由
，得
當(dāng)x變化時(shí)，
，的變化情況如下表：
|
x |
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
|
極小值 |
|
因此，在
處取得最小值，故由題意
，所以
（2）解：當(dāng)
時(shí)，取
，有
，故時(shí)不合題意.當(dāng)
時(shí)，令
，即
令
，得
①當(dāng)
時(shí)，
，
在
上恒成立。因此
在
上單調(diào)遞減.從而對(duì)于任意的
，總有
，即
在上恒成立，故符合題意.
②當(dāng)
時(shí)，
，對(duì)于
，
，故在
上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí)，
，即
不成立.
故不合題意.
綜上，k的最小值為
.
（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=
=右邊，所以不等式成立.
當(dāng)
時(shí)，
在（2）中取
，得
，
從而
所以有
綜上，
，
已知函數(shù)
．（
）
（1）若
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（2）若在區(qū)間
上，函數(shù)的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到
，進(jìn)而得到范圍；第二問中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于
在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上恒成立． …………3分
即，而當(dāng)
時(shí)，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918574873515193/SYS201206191859562664899842_ST.files/image016.png">．
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點(diǎn)
，
，
當(dāng)
，即
時(shí)，在（
，+∞)上有
，此時(shí)
在區(qū)間
上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有
，不合題意；
當(dāng)
，即
時(shí)，同理可知，在區(qū)間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時(shí)在區(qū)間上恒有
，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當(dāng)
時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線下方．
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