題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
一. 選擇題（本大題共6小題，每小題7分，共42分）
題號
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
C
C
A
A
二. 填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
7. 0
8. 36
9. 
三．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（本大題共3小題，共43分）
10．（本小題滿分14分）
解：（I）設等差數列
的公差為
，則
…………2分
解得
…………4分
. …………5分
…………7分
（II）由
…………10分
…………12分
…………14分
11．（本小題滿分14分）
解法1：(Ⅰ) 取CD的中點E，連結PE、EM、EA.
∵△PCD為正三角形，∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD （2分）
∵四邊形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形
由勾股定理可求得：EM=，AM=
，AE=3
∴
（4分）
，又
在平面ABCD上射影：
∴∠AME=90°， ∴AM⊥PM （6分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角 （8分）
∴tan ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D為45°； （10分）
(Ⅲ)設D點到平面PAM的距離為，連結DM，則
， ∴
而
（12分）
在
中，由勾股定理可求得PM=
,所以：
∴
即點D到平面PAM的距離為
（14分）
解法2：(Ⅰ) 以D點為原點，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系
,
依題意，可得
……2分
∴
（4分）
∴
即
,∴AM⊥PM
（6分）
(Ⅱ)設
，且
平面PAM，則
即
∴
， 
取
，得
（8分）
取
，顯然
平面ABCD， ∴
結合圖形可知，二面角P－AM－D為45°； （10分）
(Ⅲ) 設點D到平面PAM的距離為，由(Ⅱ)可知與平面PAM垂直，則
=
即點D到平面PAM的距離為
（14分）
12．（本小題滿分15分）
解：(Ⅰ)∵
軸，∴
,由橢圓的定義得：
（2分）
∵
，∴
，
（4分）
又
得
∴
∴
，
（6分）
∴所求橢圓C的方程為
．
（7分）
(Ⅱ)由（Ⅰ）知點A(－2,0)，點B為（0，－1），設點P的坐標為
則
，
,
由
－4得－
，
∴點P的軌跡方程為
.
（9分）
設點B關于P的軌跡的對稱點為
，則由軸對稱的性質可得：
，解得：
，
（12分）
∵點在橢圓上，∴
，
整理得
解得
或
∴點P的軌跡方程為
或
，
（14分）
經檢驗和都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為或．
（15分）
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