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已知函數f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求實數a的值；
（II）若關于x的方程，在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍；
（III）證明：對任意的正整數n，不等式成立．

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一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

C

A

C

B

A

D

D

A/B

B

D

二、             填空題：

13．  8             

14．（理）（文）

15.  

16． 或      或

三、解答題： 答案僅供參考，其他解法參照給分

17．(本小題滿分12分)

（理） 解：

(文) 解：（1）由兩角和差公式及二倍角公式得

由得

于是函數的單調遞增區間為-------------6分

（2）由（1）知

     再由得------------------------8分

--------------------10分

     所以函數的值域為-------------------------12分

18．（本小題滿分12分）

（理） 解：（1）該考生得50分的情況有三類;①在“兩道只能分別判斷２個選項是錯誤的”時，該兩題竟然全選對后面兩道題全選錯，其概率為；②在“兩道只能分別判斷２個選項是錯誤的”時，該兩題竟然全選錯后面兩道題全選對，其概率為；③在“兩道只能分別判斷２個選項是錯誤的”時，該兩題只能選對一道后面兩道題也只能一錯一對，其概率為，從而有

    …………………………………4分

（2）用表示所得分數，則可能的取值為40，45，50，55，60

∵ 

    ……………8分

∴的概率分布列為 

40

45

50

55

60

P

…12分

（文） 解: (I)記“取到的4個球全是紅球”為事件A，則

 　　　　　　……………………… 4分

(II)記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件B，“取到的4個球只有1個紅球”為事件

由題意得

                   ………………………6分

 ………………………8分

               ………………………10分

所以，

化簡，得

解得  n=2，或故n=2.  　　　　　 ………………………12分

19．（本小題滿分12分）

  證明: （I）連結PA．

∵　PD⊥平面ABCD，　CD⊥AD，

∴　PA⊥CD（三垂線定理）．………………2分

∵　M、N分別是PB、AB的中點，

∴　MN∥PA，

∴　MN⊥CD．………………………6分

（理）（II） 過點O作DN的垂線OE，垂足為E，連結ME．

∵　MO⊥平面ABCD，∴　ME⊥DN．

∴　∠MEO就是二面角M－DN－C的平面角．   ………………………9分

∵　△MOE中，∠MOE＝90°，MO＝3，OE＝，

∴　．

故二面角M－DN－C的大小為．………………………12分

（文）（II）設AC、BD交于點O．

∵　MO∥PD，

∴　MO⊥底面ABCD，且MO＝PD＝3．

                               ………………………9分

∵　N是AB的中點，

∴　 ，　　∴　 ，

∴　 ………………………12分

20．（本小題滿分12分）

（理） 解：（1）令，

則，---------------------------------------2分

      由得，

      由得，---------------------------------4分

由的定義域知，

      的單調遞增區間為；遞減區間為--------------------6分

     （2） 令,則函數與的圖象有且只有兩個不同的交點與x軸正半軸有且只有兩個不同的交點.對求導數,得----------8分

 .

   又∵x→0時，＜0,x→+∞時，＞0------------------------------------------10分

有兩個不同正根的充要條件是或

,解得m=7或m=.---------------------------12分

也可由（1）知，函數在處取得極值，若要恰有兩不同的根，則必有或，所以有m=7或m=

（文）解：（Ⅰ），  ---------------2分

-----------------------------------4分

 又

故所求。----------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

 由得，，

由得， ，

故函數的單調遞增區間為單調遞減區間為------8分

 恒成立，

故函數在單調遞增區間為---------------10分

 由得，，

由得， ，

故函數的單調遞增區間為單調遞減區間為----12分

21．（本小題滿分12分）

（理）解：(1)由已知設橢圓方程為，

則 ---------------2分

a=2,   c=,      b=1.---------------------------------4分

   ∴橢圓的標準方程為----------------------------------------------6分

(2)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S_△ABC=1.

當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),------------8分

則,又點A到直線BC的距離d=,

∴△ABC的面積S_△ABC=

于是S_△ABC=----------------------------10分

由≥－1,得S_△ABC≤,其中,當k=－時,等號成立.

∴S_△ABC的最大值是.     -------------------------------12分

（文）解:（Ⅰ）設，由知，點C的軌跡為．

由　消y，得　．

設，，則，．………………………4分

所以，，

所以　，

于是　　．………………………………………………………6分

（Ⅱ）假設存在過點P的弦EF符合題意，則此弦的斜率不為零，設此弦所在直線的方程為．

由　消x，得．

設，，則，．…………………8分

因為過點P作拋物線的弦的長度是原點到弦的中點距離的2倍，所以　，

即，　　　　……………………10分

所以　，得　．

所以，存在．………………………………………………………12分

22．（本小題滿分14分）

（理 ）解:（I）　由已知，得　，

即，　　　　　………………………2分

所以數列｛｝是公比為2的等比數列，首項為＝2，

故＝.　　　　　　　………………………４分

也可以用累積法

（II）　因為＝,

若＝恒成立，則恒成立，所以

　　　………………………６分

解出　A＝1，B＝－4，C＝6．

故存在常數A，B，C滿足條件.　　　　　　 ………………………８分

（III）＝(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋(b₄－b₃)＋…＋(b_n+1－b_n)＝b_n+1－b₁

　　　　　　＝

＝  　　　　　………………………11分

＜

＝

＝

＝  

≤ ．………………………14分

別證：可以應用數學歸納法．

（文） 解:（Ⅰ），.      ---------------4分

（Ⅱ）∵，且  ∴.-------------------------------8分

（Ⅲ）設第個圖形的邊數為

∴，且,  ∴ .

∵第個圖形的面積為    則   ------------------------10分 

==

∴

                  ……

------------------------------------------12分

上述個式子兩邊分別相加得：

]

∴                        

∴      -------------------------------------------------------------------14分