題目列表(包括答案和解析)
在一批棉花中抽測了60根棉花的纖維長度，結果如下(單位：mm)：
82 202 352 321 25 293 293 86 28 206
323 355 357 33 325 113 233 294 50 296
115 236 357 326 52 301 140 328 238 358
58 255 143 360 340 302 370 343 260 303
59 146 60 263 170 305 380 346 61 305
175 348 264 383 62 306 195 350 265 385
(1)列出樣本的頻率分布表，畫出頻率分布直方圖；
(2)計算樣本的平均數和標準差；
(3)由樣本數據估計總體中有多少數據落入區間(
－2s，＋2s)．
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
B
二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分
9．60
10. 4 11. 
12. 2 13.
與
或 
與
14. -2；1
三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。
15. （本小題共13分）已知函數
（Ⅰ）求函數
的定義域； （Ⅱ）求函數在區間
上的最值。
解：（Ⅰ）由題意 
所求定義域為 {
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以當
時，取得最大值為
；
…………11分
當
時，取得最小值為0 。
…………13分
16.（本小題共13分）已知數列
中，
，當
時，函數
取得極值。（Ⅰ）求數列
的通項；（Ⅱ）在數列
中，
，
，求
的值
解：（Ⅰ） 
由題意
得 
， …………6分
又
所以 數列是公比為
的等比數列 所以 
…………8分
（Ⅱ）
因為 
，
…………10分
所以 
，
，
，……，
疊加得 
把代入得 =
…………13分
17. （本小題共14分）
如圖，在正三棱柱
中，
,
是
的中點，點
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的正弦值；
（Ⅱ）證明
；(Ⅲ) 求二面角
的大小.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
，又是正△ABC邊的中點，
，
∠
為所成角
又 
sin∠=
…………5分
（Ⅱ）證明: 依題意得 
，
，
因為
由（Ⅰ）知
， 而
，
所以 
所以
…………9分
(Ⅲ) 過C作
于
，作
于
，連接
， …………11分
又 
是所求二面角的平面角
，
二面角的大小為
…………14分
18. （本小題共13分）
某校高二年級開設《幾何證明選講》及《坐標系與參數方程》兩個模塊的選修科目。每名學生可以選擇參加一門選修，參加兩門選修或不參加選修。已知有60%的學生參加過《幾何證明選講》的選修，有75%的學生參加過《坐標系與參數方程》的選修，假設每個人對選修科目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響。
(Ⅰ)任選一名學生，求該生參加過模塊選修的概率；
(Ⅱ)任選3名學生，記
為3人中參加過模塊選修的人數，求的分布列和期望。
解：(Ⅰ)設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，
參加過《坐標系與參數方程》的選修為事件B， 該生參加過模塊選修的概率為P，
則
則 該生參加過模塊選修的概率為0.9 …………6分
（另：
）
(Ⅱ) 可能取值0，1，2，3
=0.001，
=0.027
=0.243， 
=0.729
…………10分
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729
的分布列為
…………13分
19. （本小題共13分）
已知
分別為橢圓
的左、右焦點，直線
過點
且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于直線，垂足為
，線段
的垂直平分線交
于點M。(Ⅰ)求動點M的軌跡
的方程；(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設＝
，若∈[2，3]，求
的取值范圍。
解：(Ⅰ)設M
，則
，由中垂線的性質知
|
|=
化簡得的方程為
…………3分
（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以
為焦點，以為準線的拋物線
所以 
，
則動點M的軌跡的方程為）
(Ⅱ)設
，由＝ 知 
①
又由在曲線上知 
②
由 ① ② 解得
所以
有 
…………8分
=
=
=
…………10分
設
有
在區間
上是增函數，
得
，進而有 
，所以的取值范圍是
……13分
20. （本小題共14分）
函 數 
是 定 義 在R上 的 偶 函 數，且
時，
，記函數的圖像在
處的切線為
，
。
(Ⅰ) 求在
上的解析式；
(Ⅱ) 點列
在
上，
依次為x軸上的點，
如圖，當
時，點
構成以
為底邊
的等腰三角形。若
，求數列
的通項公式；
(Ⅲ)在 (Ⅱ)的條件下，是否存在實數a使得數列是等差數列？如果存在，寫出
的一個值；如果不存在，請說明理由。
解：(Ⅰ) 函數是定義在R上的偶函數，且
；是周期為2的函數
…………1分
由 可知
=-4 
，
…………4分
(Ⅱ) 函數的圖像在處的切線為，且，
切線過點
且斜率為1，切線的方程為y=x+1
…………6分
在上，有 
即
點構成以為底邊的等腰三角形
… ①
同理
… ② 兩式相減 得 
…………11分
(Ⅲ) 假設是等差數列 ，則
…………14分
故存在實數a使得數列是等差數列
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