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如圖,在直角梯形ABCD中，∠BAD =∠ADC=，AB<CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=4，SD=.

（1）求直線SA與平面SDC所成的角的正切值；

（2）當的值是多少時？二面角S—BC—A的大小為，請給出證明.

（3）在二面角S—BC—A的大小為時，若E，F，分別是SA、SC的中點，P、Q分別是

線段AD、DC上的動點，且PQ=4，請你確定P、Q兩點的位置，使得PF⊥EQ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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（本小題滿分12分）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P—ABCD中，，平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1。
（1）求證：平面PAB；
（2）求面PCD與面PAB所成銳二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一點E，使得DE//平面PAB？若存在，請找出；若不存在，說明理由。

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一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

B

D

C

D

C

D

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分

9．    10. 60   11.    12.    13. 2    14. -2；1

三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。

15. （本小題共13分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最值。

解：（Ⅰ）由題意                 

所求定義域為  {}                            …………4分

（Ⅱ）

                           …………9分

由   知   ，

所以當時，取得最大值為；                   …………11分

當時，取得最小值為0 。                   …………13分

16. （本小題共13分）

已知數(shù)列中，，點（1，0）在函數(shù)的圖像上。

（Ⅰ）求數(shù)列 的通項；

（Ⅱ）設，求數(shù)列的前n項和。      

解：(Ⅰ)由已知        又         …………3分

 所以 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列      所以        …………6分

     （Ⅱ） 由                                …………9分

      所以                …………13分

17. （本小題共14分）

如圖，在正三棱柱中，,是的中點，點在上，。

（Ⅰ）求所成角的大小；        

（Ⅱ）求二面角的正切值；

(Ⅲ) 證明.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，  

又  是正△ABC邊的中點，

                               …………3分

∠為所成角

又     sin∠=                      …………5分

所以所成角為（）

（Ⅱ） 由已知得 

   ∠為二面角的平面角，     所以     …………9分

(Ⅲ)證明:  依題意  得   ，，

因為                        …………11分

又由（Ⅰ）中    知，且，

                                      …………14分

18. （本小題共13分）

某校高二年級開設《幾何證明選講》及《數(shù)學史》兩個模塊的選修科目。每名學生至多選修一個模塊，的學生選修過《幾何證明選講》，的學生選修過《數(shù)學史》，假設各人的選擇相互之間沒有影響。

(Ⅰ)任選1名學生，求該生沒有選修過任何一個模塊的概率；

(Ⅱ)任選4名學生，求至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率。

解：(Ⅰ)設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，

參加過《數(shù)學史》的選修為事件B， 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為P，

則

所以 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為                     …………6分

(Ⅱ)至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為

  所以至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為               …………13分

19. （本小題共13分）

已知函數(shù)的圖像如圖所示。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若函數(shù)在處的切線方程為，求函數(shù)的        

解析式；

（Ⅲ）若=5，方程有三個不同的根，求實數(shù)的取值范圍。

  解： 函數(shù)的導函數(shù)為  

(Ⅰ)由圖可知  函數(shù)的圖像過點（0，3），且

  得                         …………3分

(Ⅱ)依題意  且

         解得  

   所以                                 …………8分

（Ⅲ）依題意

          由                                       ①

    若方程有三個不同的根，當且僅當 滿足        ②

  由 ① ②  得   

   所以 當  時 ，方程有三個不同的根。     …………13分

20. （本小題共14分）

       已知分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點M。

(Ⅰ)求動點M的軌跡的方程；

(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設＝，若∈[2，3]，求的取值范圍。

解：(Ⅰ)設M，則，由中垂線的性質(zhì)知

||=     化簡得的方程為                  …………3分

（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以為焦點，以為準線的拋物線

    所以  ，         則動點M的軌跡的方程為）

(Ⅱ)設，由＝  知        ①

又由 在曲線上知                   ②

由  ①  ②       解得    所以 有          …………8分

 ===  …………10分

設 ，∈[2，3]， 有 在區(qū)間上是增函數(shù)，

得       進而有      

所以    的取值范圍是                             …………14