題目列表(包括答案和解析)
如圖，在三棱柱
中，
側面
，
為棱
上異于
的一點，
，已知
，求：
（Ⅰ）異面直線
與
的距離；
（Ⅱ）二面角
的平面角的正切值
如圖，在三棱柱
中，
側面
，
為棱
的中點，已知
，
，
，
，求：
（1）異面直線
與
的距離；
（2）二面角
的平面角的正切值.
中，
側面
，
為棱
上異于
的一點，
，已知
，求：
與
的距離；
的平面角的正切值.如圖，在三棱柱
中，
側面
，
為棱
上異于
的一點，
，已知
，求：
（Ⅰ）異面直線
與
的距離；
（Ⅱ）二面角
的平面角的正切值.
【解析】第一問中，利用建立空間直角坐標系
解：（I）以B為原點，
、
分別為Y,Z軸建立空間直角坐標系.由于，
在三棱柱
中有
,
設
又
側面
，故
. 因此
是異面直線
的公垂線，則
，故異面直線的距離為1.
（II）由已知有
故二面角
的平面角
的大小為向量
與
的夾角.
如圖，在三棱柱中，已知AB⊥側面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
一、選擇題 1--5 DDCBA 6--10 ADBCA 11-12 AB
二、填空題 13．
14．12 15．
16．AC
三、解答題
17.解：（Ⅰ） 
，
，
．
，
， 
．
（Ⅱ）由余弦定理
，得 
．
， 
．
所以
的最小值為
，當且僅當
時取等號．
18、（Ⅰ）解法一：依據題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區的概率相等，則將“隊伍從水路或陸路抵達災區”視為同一個事件. 記“隊伍從水路或陸路抵達災區”為事件C，且B、C相互獨立，而且
．…………………………………… 2分
在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率是
. ……………… 5分
解法二：在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率是
.……………………………………………………………… 5分
（Ⅱ）依據題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區的概率相等，則將“隊伍從水路或陸路抵達災區”視為同一個事件. 記“隊伍從水路或陸路抵達災區”為事件C，且B、C相互獨立，而且.
設5月13日抵達災區的隊伍數為
，則=0、1、2、3、4. ……………… 6分
由已知有：
；………………………………… 7分
；………………………… 8分
；………………… 9分
；……………………… 10分
. ………………………………………………… 10分
因此其概率分布為：
0
1
2
3
4
P
……………… 11分
所以在5月13日抵達災區的隊伍數的數學期望為：
=0×+
1×
+ 2×
+ 3×+
4×=
.
答：在5月13日抵達災區的隊伍數的數學期望=. ………………
12分
19.（I）由已知a2－a１=－2, a3－a2=－1, －1－（－2）=1 ∴an+1－an=（a2－a1）+（n－1）?1=n－3
n≥2時，an=（ an－an－1）+（ an－1－an－2）+…+（ a3－a2）+（ a2－a1）+ a1
=（n－4）+（n－5） +…+（－1）+（－2）+6 =
n=1也合適. ∴an= （n∈N*） ……………………3分
又b1－2=4、b2－2=2 .而
∴bn－2=（b1－2）?（
）n－1即bn=2+8?（）n
∴數列{an}、{bn}的通項公式為：an=
，bn=2+（）n－3…………… 6分
（II）設
當k≥4時
為k的增函數，－8?（）k也為k的增函數，…………… 8分
而f（4）= ∴當k≥4時ak－bk≥………………10分
又f（1）=f（2）=f（3）=0 ∴不存在k， 使f（k）∈（0，）…………12分
20、證（Ⅰ）因為
側面
，故
在
中，
由余弦定理有
故有
而 
且
平面
……………… 4分
（Ⅱ）由
從而
且
故
不妨設 
，則
，則
又
則
在
中有
從而
（舍去）
故
為
的中點時，
……………… 8分
法二：以
為原點
為
軸，設，則
由得 
即 
化簡整理得 
或 
當時與
重合不滿足題意
當時為的中點
故為的中點使……………… 8分
（Ⅲ）取
的中點
，
的中點
，
的中點
，
的中點
連
則
，連
則
，連
則
連
則
，且
為矩形，
又
故
為所求二面角的平面角……………… 10分
在
中，
……………… 12分
法二：由已知
，
所以二面角
的平面角
的大小為向量
與
的夾角……………… 10分
因為
故 
……………… 12分
21.解：（I）由
，
∴直線l的斜率為
，
故l的方程為
，∴點A坐標為（1，0）……… 2分
設
則
，
由
得
整理，得
……………………4分
∴動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為
，短軸長為2的橢圓 …… 5分
（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設l方程為y=k（x－2）（k≠0）①
，
②……………………………7分
， 
……………… 8分
.
，1）.…………12分
的定義域為
，
…… 2分
當
時，
，函數
時，
,函數
時，
有兩個不同解，
時，
，
,
，
在定義域上的變化情況如下表：
時，
， …… 7分
時，0<
<1 此時，
時，
和一個極小值點
；…9分
時，
；
和一個極小值點
…….10分
時，函數
，此時
…… 9分
…… 11分
…… 12分
…14分