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2008年5月12日，四川汶川發生8.0級特大地震，通往災區的道路全部中斷. 5月12日晚，抗震救災指揮部決定從水路（一支隊伍）、陸路（東南和西北兩個方向各一支隊伍）和空中（一支隊伍）同時向災區挺進．在5月13日，仍時有較強余震發生，天氣狀況也不利于空中航行. 已知當天從水路抵達災區的概率是，從陸路每個方向抵達災區的概率都是，從空中抵達災區的概率是．
（1）求在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率；
（2）求在5月13日抵達災區的隊伍數的數學期望.

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一、選擇題  1--5 DDCBA  6--10 ADBCA  11-12 AB

二、填空題   13．     14．12   15．   16．AC          

三、解答題

17.解：（Ⅰ） ，

，

．   ，

，  ．

（Ⅱ）由余弦定理，得　．

，  ．

所以的最小值為，當且僅當時取等號．

18、（Ⅰ）解法一：依據題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區的概率相等，則將“隊伍從水路或陸路抵達災區”視為同一個事件. 記“隊伍從水路或陸路抵達災區”為事件C，且B、C相互獨立，而且．……………………………………  2分

在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率是

. ………………   5分

解法二：在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率是

　　　　　 .………………………………………………………………  5分

（Ⅱ）依據題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區的概率相等，則將“隊伍從水路或陸路抵達災區”視為同一個事件. 記“隊伍從水路或陸路抵達災區”為事件C，且B、C相互獨立，而且.

設5月13日抵達災區的隊伍數為，則=0、1、2、3、4. ………………  6分

由已知有：；…………………………………  7分

；…………………………  8分

；…………………  9分

；……………………… 10分

. …………………………………………………  10分

因此其概率分布為：

0

1

2

3

4

P

                                                        ………………  11分

所以在5月13日抵達災區的隊伍數的數學期望為：

=0×+ 1× + 2× + 3×+ 4×=.

答：在5月13日抵達災區的隊伍數的數學期望=. ………………  12分

19.（I）由已知a₂－a_１=－2, a₃－a₂=－1, －1－（－2）=1 ∴a_n+1－a_n=（a₂－a₁）+（n－1）?1=n－3 

n≥2時，a_n=（ a_n－a_n－1）+（ a_n－1－a_n－2）+…+（ a₃－a₂）+（ a₂－a₁）+ a₁

          =（n－4）+（n－5） +…+（－1）+（－2）+6 =

n=1也合適.  ∴a_n=  （n∈N*） ……………………3分

又b₁－2=4、b₂－2=2 .而  ∴b_n－2=（b₁－2）?（）^n－1即b_n=2+8?（）ⁿ

∴數列{a_n}、{b_n}的通項公式為：a_n= ，b_n=2+（）^n－3……………  6分

（II）設

當k≥4時為k的增函數，－8?（）^k也為k的增函數，……………  8分

而f（4）= ∴當k≥4時a^k－b^k≥………………10分

又f（1）=f（2）=f（3）=0   ∴不存在k， 使f（k）∈（0，）…………12分

20、證（Ⅰ）因為側面，故

 在中，   由余弦定理有

  故有 

  而     且平面

      ………………  4分

（Ⅱ）由

從而  且 故

 不妨設  ，則，則

又  則

在中有   從而（舍去）

故為的中點時，………………  8分

 法二：以為原點為軸，設，則

  由得   

 即  

化簡整理得       或

當時與重合不滿足題意

當時為的中點

故為的中點使………………  8分

 （Ⅲ）取的中點，的中點，的中點，的中點

 連則，連則，連則

 連則，且為矩形，

又   故為所求二面角的平面角………………  10分

在中，

………………  12分

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角………………  10分

因為  

故 ………………  12分

21.解：（I）由，  ∴直線l的斜率為，

故l的方程為，∴點A坐標為（1，0）……… 2分

設    則，

由得

整理，得……………………4分

∴動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓 …… 5分

（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設l方程為y=k（x－2）（k≠0）①