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已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）它的兩個焦點為F₁（-5

3

，0），F₂（5

3

，0），P為橢圓E上一點（點P在第三象限），且△F₁ F₂的周長等于20+10

3

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以點P為圓心的圓經過橢圓E的左頂點M與點C（-2，0），直線MP交圓P于另一點N，試在橢圓E上找一點A，使得

AM

•

AN

取得最小值，并求出最小值．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經過點P(1，

2

2

)，且兩焦點與短軸的一個端點構成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）動直線l：mx+ny+

1

3

n=0(m，n∈R)交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T．若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．