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設數列{a_n}前n項和為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m為實常數，m≠-3且m≠0．
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的公比滿足q=f（m）且，求{b_n}的通項公式；
（3）若m=1時，設T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N^*），是否存在最大的正整數k，使得對任意n∈N^*均有成立，若存在求出k的值，若不存在請說明理由．

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設數列{a_n}前n項和為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m為實常數，m≠-3且m≠0．
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的公比滿足q=f（m）且，求{b_n}的通項公式；
（3）若m=1時，設T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N^*），是否存在最大的正整數k，使得對任意n∈N^*均有成立，若存在求出k的值，若不存在請說明理由．

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設數列{a_n}前n項和為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m為實常數，m≠-3且m≠0．
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的公比滿足q=f（m）且，求{b_n}的通項公式；
（3）若m=1時，設T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N^*），是否存在最大的正整數k，使得對任意n∈N^*均有成立，若存在求出k的值，若不存在請說明理由．

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一．選擇題

1.B    2.B  3. A   4.A   5.C   6. D  7.B   8.D   9.B  10.A  11.C   12.C

二．填空題

13.(1, )∪( ,2)       14.      15.      16. ②③④

三.解答題

17.解：（1）兩學生成績績的莖葉圖如圖所示……………4分    

(2)將甲、乙兩學生的成績從小到大排列為：

甲: 512  522  528  534  536  538  541  549   554  556   

乙:515  521  527  531  532  536   543  548   558   559   

從以上排列可知甲學生成績的中位數為……6分  

 乙學生成績的中位數為       …………8分

甲學生成績的平均數為:

……………10分   

乙學生成績的平均數為:

……………12分     

18.解:（1）∵

 ∴，

 ∴，∴ ∵  ∈(0,π)  ∴ ……4分

（2）∵ ∴，即                    ①   …………6分

 又 ∴，即    ②   …………8分

 由①②可得，∴     ………………………………………10分

 又∴，     ……………………………………12分

高三數學試題答案（文科）（共4頁）第1頁

19.（I）設是的中點，連結，則四邊形為正方形，……………2分

．故，，，，即．

………………………4分

又，平面，…………………………6分

（II）證明：DC的中點即為E點，    ………………………………………………8分

連D₁E,BE   ∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴ADBE,又ADA₁D₁    A₁D₁    ∴四邊形A₁D₁EB是平行四邊形  D₁E//A₁B ,

∵D₁E平面A₁BD   ∴D₁E//平面A₁BD。……………………………………………12分

20.解：（1）設這二次函數f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則

得a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.  ……………………………………3分

又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）………6分

（2）由（1）得知＝＝，……8分

故T_n＝＝＝（1－）………10分

因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足

≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.  ………………………12分

21.解: （1）……3分

由-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0              -＜x＜1 …………6分

高三數學試題答案（文科）（共4頁）第2頁

(2)       a=時,， 函數y=f(x)的圖像與直線y=3只有一個公共點，

即函數F(x)= 的圖像與x軸只有一個公共點。………8分

由知,

若m=0,則 F(x)=0顯然只有一個根;

若m≠0,則F(x)在x=-點取得極大值,在x=點取得極小值.

因此必須滿足F(-)＜0或F()＞0,

即-<m<0或0<m<

綜上可得 -<m <.                                ………………13分

22．解：（1）設橢圓方程為,則.

∴橢圓方程為                   ……………………4分

（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m,     又K_OM=,

，聯立方程有

，    ∵直線l與橢圓交于A．B兩個不同點，

        …………8分

（3）設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可

設，

則   由

高三數學試題答案（文科）（共4頁）第3頁

而

故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形. ……………………13分

高三數學試題答案（文科）（共4頁）第4頁