題目列表(包括答案和解析)
蜜蜂蜂房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱錐形的底，由三個相同的菱形組成．組成底盤的菱形的鈍角為109度28分，所有的銳角為70度32分，這樣既堅固又省料．蜂房的巢壁厚0.073毫米，誤差極小．
丹頂鶴總是成群結隊遷飛，而且排成“人”字形．“人”字形的角度是110度．更精確地計算還表明“人”字形夾角的一半——即每邊與鶴群前進方向的夾角為54度44分8秒！而金剛石結晶體的角度正好也是54度44分8秒！是巧合還是某種大自然的“默契”？
蜘蛛結的“八卦”形網，是既復雜又美麗的八角形幾何圖案，人們即使用直尺的圓規也很難畫出像蜘蛛網那樣勻稱的圖案．
冬天，貓睡覺時總是把身體抱成一個球形，這其間也有數學，因為球形使身體的表面積最小，從而散發的熱量也最少．
真正的數學“天才”是珊瑚蟲．珊瑚蟲在自己的身上記下“日歷”，它們每年在自己的體壁上“刻畫”出365條斑紋，顯然是一天“畫”一條．奇怪的是，古生物學家發現3億5千萬年前的珊瑚蟲每年“畫”出400幅“水彩畫”．天文學家告訴我們，當時地球一天僅21.9小時，一年不是365天，而是400天．
1．同學們，大自然中有許多有關數學的奧妙，許多現象有意無意地應用著數學，對于這些現象你有什么看法嗎？請你談談你對大自然中的數學現象的認識．
2．把你發現的大自然中的數學問題告訴你的同學和老師，讓他們也分享一下你認識大自然的樂趣．
材料：采訪零向量
W：你好！零向量．我是《數學天地》的一名記者，為了讓在校的高中生更好了解你，能不能對你進行一次采訪呢？
零向量：當然可以，我們向量王國隨時恭候大家的光臨，很樂意接受你的采訪，讓高中生朋友更加了解我，更好地為他們服務．
W：好的，那就開始吧！你的名字有什么特殊的含義嗎？
零向量：零向量就是長度為零的向量，它與數字0有著密切的聯系，所以用0來表示我．
W：你與其他向量有什么共同之處呢？
零向量：既然我是向量王國的一個成員，就具有向量的基本性質，如既有大小又有方向，在進行加、減法運算時滿足交換律和結合律，還定義了與實數的積．
W：你有哪些值得驕傲的特殊榮耀呢？
零向量：首先，我的方向是不定的，可以與任意的向量平行．其次，我還有其他一些向量所沒有的特殊待遇：如我的相反向量仍是零向量；在向量的線性運算中，我與實數0很有相似之處．
W：你有如此多的榮耀，那么是否還有煩惱之事呢？
零向量：當然有了，在向量王國還有許多“權利和義務”卻大有把我排斥在外之意，如平行向量的定義，向量共線定理，兩向量夾角的定義都對我進行了限制．所有這些確實給一些高中生帶來了很多苦惱，在此我向大家真誠地說一聲：對不起，這不是我的錯．但我還是很高興有這次機會與大家見面．
W：OK！采訪就到這里吧，非常感謝你的合作，再見！
零向量：Bye！
閱讀上面的材料回答下面問題．
應用零向量時應注意哪些問題？
在四棱錐
中，
平面
，底面為矩形，
.
（Ⅰ）當
時，求證：
；
（Ⅱ）若
邊上有且只有一個點
，使得
，求此時二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，
又因為
,
………………2分
又
，得證。
第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得
由此知道a=2, 設平面POQ的法向量為
,所以
平面PAD的法向量
則
的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，
又因為,又
………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,
設平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
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