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設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a，b＞0)M(2.

2

)，N(

6

，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個(gè)交點(diǎn)A，B且

OA

⊥

OE

？若存在，寫出該圓的方程，關(guān)求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由．

設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．?dāng)?shù)列{b_n}定義如下：對于正整數(shù)m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=

1

2

，q=-

1

3

，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求數(shù)列{b_m}的前2m項(xiàng)和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

設(shè)b＞0，橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，拋物線方程為y=

1

8

x2+b，如圖所示，過點(diǎn)F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G處的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F₁．
（1）求點(diǎn)G和點(diǎn)F₁的坐標(biāo)（用b表示）；
（2）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（3）設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

設(shè)f(x)=

ln(1+x)

x

(x＞0)
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，試說明理由；
（Ⅲ）求證：(1+

1

n

)n＜e，n∈N*（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域?yàn)镈，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（Ⅲ）設(shè)x₁是方程f（x）-x=0的實(shí)數(shù)根，求證：對于f（x）定義域中任意的x₂、x₃，當(dāng)|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時(shí)，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．