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（2008•湖北模擬）如圖，直二面角E-AB-C中，四邊形ABEF是矩形，AB=2，AF=2

3

，△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點P是線段BF上的一個動點．
（1）若PB=PF，求異面直線PC與AB所成的角的余弦值；
（2）若二面角P-AC-B的大小為30⁰，求證：FB⊥平面PAC．

查看答案和解析>>

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的。

1．B  2．D  3．B  4．C  5．C  6．A  7．A  8．B  9．D 10．C

二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中的橫線上。

11．6    12．2   13．80   14.  15．4

三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟.

16．解(1)證明:由得

∴………………………………………………4分

(2)由正弦定理得     ∴……① …………6分

  又,=2,       ∴ …………② …………8分

解①②得 ,           …………………………………………10分

∴  .                                       …………………12分

17．解:(1)由得, 即又=1 , ∴=3,……2分

∴………………………4分

(2)設,∴  ………①

∴………②………………………………7分

①-②得

           =

           =……………………………………………10分

∴, ∴.……………………12分

18．解：（1）分別取BE、AB的中點M、N，

連接PM、MC，PN、NC,則PM=1，MB=，BC=，

∴MC=，而PN=MB=，

NC=，∴PC=，…………………………4分

∴

故所求PC與AB所成角的余弦值為………6分

（2）連結AP，∵二面角E-AB-C是直二面角，且AC⊥AB

∴∠BAP即為所求二面角的平面角，即∠BAP=30⁰……8分

在RtΔBAF中，tan∠ABF=，∴∠ABF=60⁰，

故BF⊥AP，    …………………………………………………………10分

又AC⊥面BF，∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC…………………………12分

18．另解：分別以AB、AC、AF為x、y、z軸建立直角坐標系，

則，

  ∴

而，  ∴

故異面直線PC與AB所成的角的余弦值為。

（2）分別設平面ABC和平面PAC的法向量分別為，P點坐標設為，則而，則由

得

且 ∴，

再由得

∴，，

而

∴，即

BF⊥AP，BF⊥AC∴BF⊥平面PAC

19．解：（1）當0<x≤10時，……2分

當x >10時，…………4分

…………………………………5分

（2）①當0<x≤10時，由

當

∴當x=9時，W取最大值，且……9分

②當x>10時，W=98

當且僅當…………………………12分

綜合①、②知x=9時，W取最大值.

所以當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝生產中獲利最大.……13分

20．解: (1)………………………2分

即   ………4分

∴是 (也可寫成閉區間)…………6分

(2)  ……………………8分

不等式組所確定的平面區域如圖所示。…………………………………10分

設

……………………………………13分

21．（1）B（0，-b）

,即D為線段FP的中點.，

∴……………………………2分

,即A、B、D共線.

而 

∴,得,………………………4分

∴………………………………5分

（2）∵=2,而,∴,

故雙曲線的方程為………①………………………………6分

∴B_、的坐標為(0,-1)      

設的方程為…………②

②代入①得

由題意得:   得:…………9分

設M、N的坐標分別為(x₁,y₁) 、(x₂,y₂)

則

而

       ………11分

整理得, 解得: 或(舍去)

∴所求的方程為………………………………13分