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已知雙曲線x²-y²=2的左、右焦點分別為F₁，F₂，過點F₂的動直線與雙曲線相交于A，B兩點．
（I）若動點M滿足（其中O為坐標原點），求點M的軌跡方程；
（II）在x軸上是否存在定點C，使•為常數？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

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已知雙曲線S的兩個焦點F₁、F₂在x軸上，它的兩條漸近線分別為l₁、l₂，y=x是其中的一條漸近線的方程，兩條直線X=±是雙曲線S的準線．
（I）設A、B分別為l₁、l₂上的動點，且2||=5，求線段AB的中點M的軌跡方程：
（II）已知O是原點，經過點N（0，1）是否存在直線l，使l與雙曲線S交于P，E且△POE是以PE為斜邊的直角三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的。

1．B  2．D 3．B  4．C  5．C  6．B  7．A  8．B  9．A  10．D

二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中的橫線上。

11.6  12．2   13．80  14．20  15． 0，

三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟。

16．解(1)證明:由得

∴………………………………………………4分

(2)由正弦定理得     ∴……① …………6分

  又,=2,       ∴ …………② …………8分

解①②得 ,           …………………………………………10分

∴                          …………………12分

17．解:(1)由得,即=0.……………2分

當n>2時有

   ∴                        ……………………………6分

(2)由(1)知n>2時,……………8分

又=0,  =2也適合上式,

∴   ∴……………………10分

∴

                  =1-<1……………………………………………12分

18．解：（1）分別取BE、AB的中點M、N，

連結PM、MC，PN、NC,則PM=1，MB=，BC=，

∴MC=，而PN=MB=，

NC=，∴PC=，…………………………4分

∴

故所求PC與AB所成角的余弦值為………6分

（2）連結AP，∵二面角E-AB-C是直二面角，且AC⊥AB

∴∠BAP即為所求二面角的平面角，即∠BAP=30⁰……8分

在RtΔBAF中，tan∠ABF=，∴∠ABF=60⁰，

故BF⊥AP，    ………………………………………10分

又AC⊥面BF，∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC………12分

另解：分別以AB、AC、AF為x、y、z軸建立直角坐標系，

則，

  ∴

而，  ∴

故異面直線PC與AB所成的角的余弦值為

（2）分別設平面ABC和平面PAC的法向量分別為，P點坐標設為，則而，則由

得

且 ∴，

再由得

∴，，

而

∴，即

BF⊥AP，BF⊥AC∴BF⊥平面PAC

19．解：（1）當0<x≤10時，……2分

當x >10時，…………4分

…………………………………5分

（2）①當0<x≤10時，由

當

∴當x=9時，W取最大值，且……9分

②當x>10時，W=98

當且僅當…………………………12分

綜合①、②知x=9時，W取最大值.

所以當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝生產中獲利最大.……13分

20． 解: （I） ,依題意有:,…………………2分

            即,

         ,由

          (也可寫成閉區間)……………4分

（2）   (1)

     函數的圖象與直線的交點的個數問題可轉化為方程(1)的解的個數問題.

       令

則…………………………5分

①6分

②

   ……………………9分

③

∴的極大值為

∴的圖象與軸只有一個交點.…………………………………12分

綜上所述: ;

.……………13分

21．解：（1）B（0，-b）

,即D為線段FP的中點.

∴ ……………………………2分

,即A、B、D共線.

而 

∴,得,

∴………………………………………5分

（2）∵=2,而,∴,故雙曲線的方程為………①

∴B_、的坐標為(0,-1)…………………………………………………………6分

假設存在定點C（0，）使為常數.

設MN的方程為………………②

②代入①得………………………………………7分

由題意得:   得:……8分

設M、N的坐標分別為(x₁,y₁) 、(x₂,y₂)

     …………………………………………………………9分

而=

         =

==,…………………………10分

整理得:

對滿足的恒成立.

∴且

解得

存在軸上的定點C(0,4),使為常數17.…………………………13分