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如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0）D（0，4）設△AOB的外接圓圓心為E．
（1）若⊙E與直線CD相切，求實數a的值；
（2）設點P在圓E上，使△PCD的面積等于12的點P有且只有三個，試問這樣的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的標準方程；若不存在，說明理由．

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如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0），D（0，4），設△AOB的外接圓圓心為E．
（1）問圓心E到直線CD的距離是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由；
（2）問當a取何值時，圓E與直線CD相切，并求出此時⊙E的標準方程．

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1.（1）因為，所以

      又是圓O的直徑，所以

      又因為（弦切角等于同弧所對圓周角）

      所以所以

      又因為，所以相似

      所以，即

  （2）因為，所以，

       因為，所以

       由（1）知：。所以

       所以，即圓的直徑

       又因為，即

     解得

2.依題設有：

 令，則

3.將極坐標系內的問題轉化為直角坐標系內的問題

  點的直角坐標分別為

  故是以為斜邊的等腰直角三角形，

  進而易知圓心為，半徑為，圓的直角坐標方程為

      ，即

  將代入上述方程，得

  ，即

4.假設，因為，所以。

又由，則，

所以，這與題設矛盾

又若，這與矛盾

綜上可知，必有成立

同理可證也成立

命題成立

5. 解：由a₁=S₁,k=.下面用數學歸納法進行證明.

1°.當n=1時，命題顯然成立；

2°.假設當n=k(kN*)時，命題成立,

即1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,

則n=k+1時，1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）

=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）

即命題對n=k+1.成立

由1°, 2°，命題對任意的正整數n成立.

6.（1）因為，，

      ，所以

       故事件A與B不獨立。

   （2）因為

       所以