題目列表(包括答案和解析)
已知數列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用
關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結論。
解：(Ⅰ)當
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數學歸納法）①當
時, 
,命題成立;
②假設
時,命題成立,即
,
則當
時,
即
即
故當時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
（本小題滿分12分）設等差數列{
}的前n項和為
，且
。
（1）求數列{}的通項公式及前n項和公式；
（2）設數列{
}的通項公式為 
，是否存在正整數t，使得
成等差數列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由
（本小題滿分12分）設等差數列{
}的前n項和為
，且
。
（1）求數列{}的通項公式及前n項和公式；
（2）設數列{
}的通項公式為
，是否存在正整數t，使得
成等差數列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由
（本小題滿分16分）
數列
的前n項和為
，存在常數A，B，C，使得
對任意正整數n都成立。
（１） 若數列為等差數列，求證：3A－B＋C＝０；
（２） 若
設
數列
的前ｎ項和為
，求；
（３） 若C=0，是首項為1的等差數列，設
，求不超過P的最大整數的值。
的前n項和為
，存在常數A，B，C，使得
對任意正整數n都成立。為等差數列，求證：3A－B＋C＝０；
設
數列
的前ｎ項和為
，求；是首項為1的等差數列，設
，求不超過P的最大整數的值。一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
D
二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分
9．
10. 60
11.
12.
13. 2 14. -2；1
三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。
15. （本小題共13分）
已知函數
（Ⅰ）求函數
的定義域；
（Ⅱ）求函數在區間
上的最值。
解：（Ⅰ）由題意 
所求定義域為 {
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以當
時，取得最大值為
；
…………11分
當
時，取得最小值為0 。
…………13分
16. （本小題共13分）
已知數列
中，
，點（1，0）在函數
的圖像上。
（Ⅰ）求數列
的通項；
（Ⅱ）設
，求數列
的前n項和
。
解：(Ⅰ)由已知 
又
…………3分
所以 數列是公比為
的等比數列 所以 
…………6分
（Ⅱ） 由 
…………9分
所以
…………13分
17. （本小題共14分）
如圖，在正三棱柱
中，
,
是
的中點，點
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
(Ⅲ) 證明
.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
又 是正△ABC邊的中點，
…………3分
∠
為所成角
又 
sin∠=
…………5分
所以所成角為
（
）
（Ⅱ） 由已知得 
∠
為二面角的平面角， 所以 
…………9分
(Ⅲ)證明: 依題意 得 
，
，
因為 
…………11分
又由（Ⅰ）中 知
，且
，
…………14分
18. （本小題共13分）
某校高二年級開設《幾何證明選講》及《數學史》兩個模塊的選修科目。每名學生至多選修一個模塊，
的學生選修過《幾何證明選講》，
的學生選修過《數學史》，假設各人的選擇相互之間沒有影響。
(Ⅰ)任選1名學生，求該生沒有選修過任何一個模塊的概率；
(Ⅱ)任選4名學生，求至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率。
解：(Ⅰ)設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，
參加過《數學史》的選修為事件B， 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為P，
則
所以 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為
…………6分
(Ⅱ)至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為
所以至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為
…………13分
19. （本小題共13分）
已知函數
的圖像如圖所示。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若函數在
處的切線方程為
，求函數的
解析式；
（Ⅲ）若
=5，方程
有三個不同的根，求實數
的取值范圍。
解： 函數的導函數為 
(Ⅰ)由圖可知
函數的圖像過點（0，3），且
得 
…………3分
(Ⅱ)依題意
且
解得 
所以
…………8分
（Ⅲ）依題意 
由 
①
若方程有三個不同的根，當且僅當 滿足 
②
由 ① ② 得 
所以 當 
時 ，方程有三個不同的根。 …………13分
20. （本小題共14分）
已知
分別為橢圓
的左、右焦點，直線
過點
且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于直線，垂足為
，線段
的垂直平分線交
于點M。
(Ⅰ)求動點M的軌跡
的方程；
(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設＝
，若∈[2，3]，求
的取值范圍。
解：(Ⅰ)設M
，則
，由中垂線的性質知
|
|=
化簡得的方程為
…………3分
（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以
為焦點，以為準線的拋物線
所以 
，
則動點M的軌跡的方程為）
(Ⅱ)設
，由＝ 知 
①
又由 在曲線上知 
②
由 ① ② 解得
所以
有 
…………8分
=
=
=
…………10分
設
，∈[2，3]，
有
在區間
上是增函數，
得 
進而有 
所以 的取值范圍是
…………14分
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