題目列表(包括答案和解析)
已知函數
．
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）設
，若對任意
，
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
【解析】第一問利用
的定義域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函數
的單調遞增區間是（1,3）；單調遞減區間是
第二問中，若對任意
不等式
恒成立，問題等價于
只需研究最值即可。
解： （I）的定義域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函數的單調遞增區間是（1,3）；單調遞減區間是 ．．．．．．．．4分
（II）若對任意不等式恒成立，
問題等價于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函數極小值點，這個極小值是唯一的極值點，
故也是最小值點，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
當b<1時，
；
當
時，
；
當b>2時，
；
．．．．．．．．．．．．8分
問題等價于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以實數b的取值范圍是
已知函數
，
.
（Ⅰ）若函數
依次在
處取到極值.求
的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數
，使對任意的
，不等式
恒成立.求正整數
的最大值.
【解析】第一問中利用導數在在處取到極值點可知導數為零可以解得方程有三個不同的實數根來分析求解。
第二問中，利用存在實數，使對任意的，不等式
恒成立轉化為
，恒成立，分離參數法求解得到范圍。
解：（1）
①
（2）不等式 ，即
，即
.
轉化為存在實數
，使對任意的
，不等式恒成立.
即不等式
在上恒成立.
即不等式
在上恒成立.
設
，則.
設
，則
，因為，有
.
故
在區間上是減函數。又
故存在
，使得
.
當
時，有
，當
時，有
.
從而
在區間
上遞增，在區間
上遞減.
又
[來源:]
所以當
時，恒有
；當
時，恒有
；
故使命題成立的正整數m的最大值為5
（本小題滿分14分）
設函數
定義在
上，
，導函數
（Ⅰ）求
的單調區間的最小值；（Ⅱ）討論 與
的大小關系；（Ⅲ）是否存在
，使得
對任意
成立？若存在，求出
的取值范圍；若不存在請說明理由。
已知函數
，
．
（Ⅰ）若函數
和函數
在區間
上均為增函數，求實數
的取值范圍；
（Ⅱ）若方程
有唯一解，求實數
的值．
【解析】第一問， 
當0<x<2時，
，當x>2時，
，
要使
在(a,a+1)上遞增，必須
如使
在(a,a+1)上遞增，必須
，即
由上得出，當
時，在
上均為增函數
（Ⅱ）中方程有唯一解
有唯一解
設
（x>0）
隨x變化如下表
|
x |
|
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
極小值 |
|
由于在
上，
只有一個極小值，
的最小值為-24-16ln2，
當m=-24-16ln2時，方程有唯一解得到結論。
（Ⅰ）解：
當0<x<2時，，當x>2時，，
要使在(a,a+1)上遞增，必須
如使在(a,a+1)上遞增，必須，即
由上得出，當時，在上均為增函數 ……………6分
（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解
設
（x>0）
隨x變化如下表
|
x |
|
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
極小值 |
|
由于在上，只有一個極小值，的最小值為-24-16ln2，
當m=-24-16ln2時，方程有唯一解
（本題滿分14分）
已知函數
。
（1）求
的最大值及取得最大值時的
的值；
（2）求在
上的單調增區間。
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
D
二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分
9．
10. 60
11.
12.
13. 2 14. -2；1
三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。
15. （本小題共13分）
已知函數
（Ⅰ）求函數
的定義域；
（Ⅱ）求函數在區間
上的最值。
解：（Ⅰ）由題意 
所求定義域為 {
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以當
時，取得最大值為
；
…………11分
當
時，取得最小值為0 。
…………13分
16. （本小題共13分）
已知數列
中，
，點（1，0）在函數
的圖像上。
（Ⅰ）求數列
的通項；
（Ⅱ）設
，求數列
的前n項和
。
解：(Ⅰ)由已知 
又
…………3分
所以 數列是公比為
的等比數列 所以 
…………6分
（Ⅱ） 由 
…………9分
所以
…………13分
17. （本小題共14分）
如圖，在正三棱柱
中，
,
是
的中點，點
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
(Ⅲ) 證明
.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
又 是正△ABC邊的中點，
…………3分
∠
為所成角
又 
sin∠=
…………5分
所以所成角為
（
）
（Ⅱ） 由已知得 
∠
為二面角的平面角， 所以 
…………9分
(Ⅲ)證明: 依題意 得 
，
，
因為 
…………11分
又由（Ⅰ）中 知
，且
，
…………14分
18. （本小題共13分）
某校高二年級開設《幾何證明選講》及《數學史》兩個模塊的選修科目。每名學生至多選修一個模塊，
的學生選修過《幾何證明選講》，
的學生選修過《數學史》，假設各人的選擇相互之間沒有影響。
(Ⅰ)任選1名學生，求該生沒有選修過任何一個模塊的概率；
(Ⅱ)任選4名學生，求至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率。
解：(Ⅰ)設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，
參加過《數學史》的選修為事件B， 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為P，
則
所以 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為
…………6分
(Ⅱ)至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為
所以至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為
…………13分
19. （本小題共13分）
已知函數
的圖像如圖所示。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若函數在
處的切線方程為
，求函數的
解析式；
（Ⅲ）若
=5，方程
有三個不同的根，求實數
的取值范圍。
解： 函數的導函數為 
(Ⅰ)由圖可知
函數的圖像過點（0，3），且
得 
…………3分
(Ⅱ)依題意
且
解得 
所以
…………8分
（Ⅲ）依題意 
由 
①
若方程有三個不同的根，當且僅當 滿足 
②
由 ① ② 得 
所以 當 
時 ，方程有三個不同的根。 …………13分
20. （本小題共14分）
已知
分別為橢圓
的左、右焦點，直線
過點
且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于直線，垂足為
，線段
的垂直平分線交
于點M。
(Ⅰ)求動點M的軌跡
的方程；
(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設＝
，若∈[2，3]，求
的取值范圍。
解：(Ⅰ)設M
，則
，由中垂線的性質知
|
|=
化簡得的方程為
…………3分
（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以
為焦點，以為準線的拋物線
所以 
，
則動點M的軌跡的方程為）
(Ⅱ)設
，由＝ 知 
①
又由 在曲線上知 
②
由 ① ② 解得
所以
有 
…………8分
=
=
=
…………10分
設
，∈[2，3]，
有
在區間
上是增函數，
得 
進而有 
所以 的取值范圍是
…………14分
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
