題目列表(包括答案和解析)
（12分）
已知數列
中，
，且當
時，函數
取得極值；
（Ⅰ）若
，證明數列
為等差數列；
（Ⅱ）設數列
的前
項和為
，求 ．
已知數列
中，
，且當
時，函數
取得極值。
（1）若
，求數列
的通項公式；
（2）設數列的前
項和為
，試證明：
時，
．
（12分）
已知數列
中，
，且當
時，函數
取得極值；
（Ⅰ）若
，證明數列
為等差數列；
（Ⅱ）設數列的前
項和為
，求 ．
已知數列
中，
，且當
時，函數
取得極值。
（1）若
，求數列
的通項公式；
（2）設數列的前
項和為
，試證明：
時，
．
已知數列
中，
，且當
時，函數
取得極值。
（1）若
，求數列
的通項公式；
（2）設數列的前
項和為
，試證明：
時，
．
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
B
二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分
9．60
10. 4 11. 
12. 2 13.
與
或 
與
14. -2；1
三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。
15. （本小題共13分）已知函數
（Ⅰ）求函數
的定義域； （Ⅱ）求函數在區間
上的最值。
解：（Ⅰ）由題意 
所求定義域為
{
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以當
時，取得最大值為
；
…………11分
當
時，取得最小值為0 。
…………13分
16.（本小題共13分）已知數列
中，
，當
時，函數
取得極值。（Ⅰ）求數列
的通項；（Ⅱ）在數列
中，
，
，求
的值
解：（Ⅰ） 
由題意
得 
， …………6分
又
所以 數列是公比為
的等比數列 所以 
…………8分
（Ⅱ） 因為 
，
…………10分
所以 
，
，
，……，
疊加得 
把代入得 =
…………13分
17. （本小題共14分）
如圖，在正三棱柱
中，
,
是
的中點，點
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的正弦值；
（Ⅱ）證明
；(Ⅲ) 求二面角
的大小.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
，又是正△ABC邊的中點，
，
∠
為所成角
又 
sin∠=
…………5分
（Ⅱ）證明: 依題意得 
，
，
因為
由（Ⅰ）知
， 而
，
所以 
所以
…………9分
(Ⅲ) 過C作
于
，作
于
，連接
， …………11分
又 
是所求二面角的平面角
，
二面角的大小為
…………14分
18. （本小題共13分）
某校高二年級開設《幾何證明選講》及《坐標系與參數方程》兩個模塊的選修科目。每名學生可以選擇參加一門選修，參加兩門選修或不參加選修。已知有60%的學生參加過《幾何證明選講》的選修，有75%的學生參加過《坐標系與參數方程》的選修，假設每個人對選修科目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響。
(Ⅰ)任選一名學生，求該生參加過模塊選修的概率；
(Ⅱ)任選3名學生，記
為3人中參加過模塊選修的人數，求的分布列和期望。
解：(Ⅰ)設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，
參加過《坐標系與參數方程》的選修為事件B， 該生參加過模塊選修的概率為P，
則
則 該生參加過模塊選修的概率為0.9 …………6分
（另：
）
(Ⅱ) 可能取值0，1，2，3
=0.001，
=0.027
=0.243， 
=0.729
…………10分
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729
的分布列為
…………13分
19. （本小題共13分）
已知
分別為橢圓
的左、右焦點，直線
過點
且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于直線，垂足為
，線段
的垂直平分線交
于點M。(Ⅰ)求動點M的軌跡
的方程；(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設＝
，若∈[2，3]，求
的取值范圍。
解：(Ⅰ)設M
，則
，由中垂線的性質知
|
|=
化簡得的方程為
…………3分
（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以
為焦點，以為準線的拋物線
所以 
，
則動點M的軌跡的方程為）
(Ⅱ)設
，由＝ 知 
①
又由在曲線上知 
②
由 ① ② 解得
所以
有 
…………8分
=
=
=
…………10分
設
有
在區間
上是增函數，
得
，進而有 
，所以的取值范圍是
……13分
20. （本小題共14分）
函 數 
是 定 義 在R上 的 偶 函 數，且
時，
，記函數的圖像在
處的切線為
，
。
(Ⅰ) 求在
上的解析式；
(Ⅱ) 點列
在
上，
依次為x軸上的點，
如圖，當
時，點
構成以
為底邊
的等腰三角形。若
，求數列
的通項公式；
(Ⅲ)在 (Ⅱ)的條件下，是否存在實數a使得數列是等差數列？如果存在，寫出
的一個值；如果不存在，請說明理由。
解：(Ⅰ) 函數是定義在R上的偶函數，且
；是周期為2的函數
…………1分
由 可知
=-4 
，
…………4分
(Ⅱ) 函數的圖像在處的切線為，且，
切線過點
且斜率為1，切線的方程為y=x+1
…………6分
在上，有 
即
點構成以為底邊的等腰三角形
… ①
同理
… ② 兩式相減 得 
…………11分
(Ⅲ) 假設是等差數列 ，則
…………14分
故存在實數a使得數列是等差數列。
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