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定義域為R的函數f（x）滿足：對于任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當x＞0時f（x）＜0恒成立．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（2）證明f（x）為減函數；若函數f（x）在[-3，3]上總有f（x）≤6成立，試確定f（1）應滿足的條件；（3）解關于x的不等式，（n是一個給定的自然數，a＜0）

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一、填空題 (每題5分)

1)  2)  3)0  4)   5)   6)   7）②④  8） 9） 10）  11）7

二、選擇題(每題5分)

12、A  13、B   14、D   15、D

三、解答題

16、16、

（1）因為，所以∠BCA（或其補角）即為異面直線與所成角         -------(3分)

∠ABC=90°, AB=BC=1，所以，     -------(2分)

即異面直線與所成角大小為。      -------(1分)

（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，所以即為直線A₁C與平面ABC所成角，所以。            -------(2分)

中，AB=BC=1得到，中，得到，    -------(2分)

所以               -------(2分)

17、         -------(1分)

    =           -------(1分)

=                   -------(1分)

若為其圖象對稱中心的橫坐標，即=0，         -------(1分)

，                    -------(1分)

解得：         -------(1分)

 （2），        -------(2分)

即，而，所以。                 -------(2分)

，，               -------(2分)

所以                             ------(2分)

18、，顧客得到的優惠率是。         -------(5分)

(2)、設商品的標價為x元，則500≤x≤800                         ----- -(2分)

消費金額：  400≤0.8x≤640

由題意可得：

_（1）≥       無解                                 ------(3分)

_或（2） ≥        得：625≤x≤750                    ------(3分)

因此，當顧客購買標價在元內的商品時，可得到不小于的優惠率。------(1分)

19、（1）y＝? ＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1                 -----(1分)

與軸的交點為，所以；           -----(1分)

所以，即，                         -----(1分)

因為在上，所以，即    -----(1分)

（2）設 （），

即 （）         ----(1分)

（A）當時，

                                                     ----(1分)

==，而，所以              ----(1分)

（B）當時，   ----(1分)

= =，                        ----(1分)

而，所以                                       ----(1分)

因此（）                              ----(1分)

（3）假設，使得 ，

（A）為奇數

（一）為奇數，則為偶數。則，。則，解得：與矛盾。                   ----(1分)

（二）為偶數，則為奇數。則，。則，解得：（是正偶數）。           ----(1分)

（B）為偶數

（一）為奇數，則為奇數。則，。則，解得：（是正奇數）。             ----(1分)

（二）為偶數，則為偶數。則，。則，解得：與矛盾。           ----(1分)

由此得：對于給定常數m()，這樣的總存在；當是奇數時，；當是偶數時，。                 ----(1分)

20、（1）解法（A）：點P與點F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，所以點P與點F（2，0）的距離與它到直線＋2＝0的距離相等。              ----(1分)

由拋物線定義得：點在以為焦點直線＋2＝0為準線的拋物線上，              ----(1分)

拋物線方程為。                             ----(2分) 

解法（B）：設動點，則。當時，，化簡得：，顯然，而，此時曲線不存在。當時，，化簡得：。

（2），

，

，               ----(1分)

，

，即，，           ----(2分)

直線為，所以                      ----(1分)

                         ----(1分)

由（a）（b）得：直線恒過定點。                        ----(1分)

1、（逆命題）如果直線，且與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標原點。求證：OA⊥OB    （評分：提出問題得1分，解答正確得1分）

（若，求證：?=0，得分相同）

2、（簡單推廣命題）如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，且OA⊥OB。求證：直線L過定點（2p，0）

或：它的逆命題（評分：提出問題得2分，解答正確得1分）

3、（類比）

3．1（1）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點，M是其右頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(,0)

3．1（2）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點，M是其左頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(,0)

3．1（3）或它的逆命題

3．2（1）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點，M是其右頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(,0)(a≠b)

3．2（2）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點，M是其左頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(,0)(a≠b)

3．2（3）或它的逆命題

（評分：提出問題得3分，解答正確得3分）

4、（再推廣）

直角頂點在圓錐曲線上運動

如：如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，P是拋物線上一定點(,)，且PA⊥PB。求證：直線L過定點(＋2p,－)

（評分：提出問題得4分，解答正確得3分）

5、（再推廣）

如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，P是拋物線上一定點(,)，PA與PB的斜率乘積是常數m。求證：直線L過定點(－,－)

（評分：提出問題得5分，解答正確得4分）

或?為常數

頂點在圓錐曲線上運動并把直角改為一般定角或OA與OB的斜率乘積是常數或?為常數