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甲、乙、丙三個同學一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預錄取生（可在高考中加分錄取），兩次考試過程相互獨立．根據甲、乙、丙三個同學的平時成績分析，甲、乙、丙三個同學能通過筆試的概率分別是0.6，0.5，0.4，能通過面試的概率分別是0.5，0.6，0.75．
（1）求甲、乙、丙三個同學中恰有一人通過筆試的概率；
（2）設經過兩次考試后，能被該高校預錄取的人數為，求隨機變量的期望E（）．

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A．必做題部分

一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）

1．　　2．　3．共線　4．20　5．　6．　7．　　8．2，5，10　 9．16.4 　10．1　 11．7 　12．　　13．2 　　14．

二、解答題：

15．解：(1)

(2)　　　

余弦定理可得

又∵

∴

16．證明  (1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD 

(2)取CD中點G，連EG、FG，

∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，FG∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解  當平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD

證明  G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角  即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD

17．解：（1）依題意，到距離等于到直線的距離，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線                                                                                   

  曲線方程是                                                                

（2）設圓心，因為圓過

故設圓的方程                                       

令得：

設圓與軸的兩交點為，則 

在拋物線上，        

所以，當運動時，弦長為定值2                                             

18．解（1）設日銷售量為

則日利潤

（2）

①當2≤a≤4時，33≤a+31≤35，當35 <x<41時，

∴當x=35時，L（x）取最大值為

②當4＜a≤5時，35≤a+31≤36，

易知當x=a+31時，L（x）取最大值為綜合上得

19．解(1)據題意:

可行域如圖(暫缺)

的幾何意義是定點到區域內的點連線的斜率,

又

故的取值范圍為

(2)當有零點時,,滿足條件為

由拋物線的下方與圍成的區域面積

由直線圍成的區域面積

故有零點的概率

無零點的概率為

 (3)是函數.

證明： 符合條件．

因為，

同理：；                                 

．

    所以， 符合條件．              

20．（1）解：由已知：對于，總有 ①成立

∴   （n ≥ 2）② 

①--②得

∴

∵均為正數，∴   （n ≥ 2）

∴數列是公差為1的等差數列                又n=1時，， 解得=1

∴.()  

（2）證明：∵對任意實數和任意正整數n，總有≤.……6分

∴

(3)解：由已知  ，      

        易得　

        猜想 n≥2 時，是遞減數列.

令

∵當

∴在內為單調遞減函數.

由.

∴n≥2 時, 是遞減數列.即是遞減數列.

又 , ∴數列中的最大項為. 

B．附加題部分

三、附加題部分：

21．（必做題）（本小題滿分12分）

解：（1）將代入得，

        由△可知，

        另一方面，弦長AB，解得；

（2）當時，直線為，要使得內接△ABC面積最大，

則只須使得，

即，即位于（4，4）點處．

22．（必做題）（本小題滿分12分）

解：（1）分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件、、；

表示事件“恰有一人通過筆試”

           則

   （2）解法一：因為甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格的概率均為，

所以，故．

解法二：分別記甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格為事件，

則

所以，

，．

于是，．

23．（選做題）（本小題滿分8分）

證明：（1）過D點作DG∥BC，并交AF于G點，

      ∵E是BD的中點，∴BE=DE，

      又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，

      ∴△BEF≌△DEG，則BF=DG，

      ∴BF：FC=DG：FC，

      又∵D是AC的中點，則DG：FC=1：2，

      則BF：FC=1：2；

        （2）若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，

            則由（1）知BF：BC=1：3，

           又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分別為△BEF和△BDC的高，

則，則=1：5．

24．（選做題）（本小題滿分8分）

解：（1）消去參數，得直線的普通方程為；-----------------------2分

即，

兩邊同乘以得，

消去參數，得⊙的直角坐標方程為：

（2）圓心到直線的距離，

所以直線和⊙相交．

25．（選做題）（本小題滿分8分）

解：MN = =，

    即在矩陣MN變換下，

則，

即曲線在矩陣MN變換下的函數解析式為．

26．（選做題）（本小題滿分8分）

證明：（1）當時，左邊＝，時成立 

（2）假設當時成立，即

那么當時，左邊

時也成立                  

根據（1）（2）可得不等式對所有的都成立