題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分16分）
已知正三角形OAB的三個頂點都在拋物線
上，其中O為坐標原點，設圓C是
的外接圓（點C為圓心）（1）求圓C的方程；（2）設圓M的方程為
，過圓M上任意一點P分別作圓C的兩條切線PE、PF，切點為E、F，求
的最大值和最小值
（本小題滿分16分）已知函數
在區間
上的最小值為
，令
，
，求證：
（本小題滿分16分）某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的成本為4元，并且每件商品需向總店交a元（1≤a≤3）的管理費，預計當每件商品的售價為
元（8≤x≤9）時，一年的銷售量為(10－x)2萬件．（1）求該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與每件商品的售價x的函數關系式L(x)；
（2）當每件商品的售價為多少元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，并求出L的最大值M(a)．
（本小題滿分16分）設數列
的前n項和為
，數列
滿足: 
,且數列的前
n項和為
.
(1) 求
的值；
(2) 求證：數列
是等比數列；
(3) 抽去數列中的第1項，第4項，第7項，……，第3n-2項，……余下的項順序不變，組成一個新數列
，若的前n項和為
，求證：
.
（本小題滿分16分）某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的成本為4元，并且每件商品需向總店交a元（1≤a≤3）的管理費，預計當每件商品的售價為
元（8≤x≤9）時，一年的銷售量為(10－x)2萬件．（1）求該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與每件商品的售價x的函數關系式L(x)；（2）當每件商品的售價為多少元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，并求出L的最大值M(a)．
A．必做題部分
一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）
1．
2．
3．共線 4．20 5．
6．
7．
8．2，5，10 9．16.4 10．1 11．7 12．
13．2 14．
二、解答題：
15．解：(1)
(2)
余弦定理
可得
又∵
∴
16．證明
(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內的射影，
∵CD
平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD
(2)取CD中點G，連EG、FG，
∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，FG∥PD
∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD
(3）解 當平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD
證明 G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP
由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE
又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD
17．解：（1）依題意，
到
距離等于到直線
的距離，曲線
是以原點為頂點，為焦點的拋物線
曲線方程是
（2）設圓心
，因為圓
過
故設圓的方程
令
得：
設圓與
軸的兩交點為
，則
在拋物線上，
所以，當運動時，弦長
為定值2
18．解（1）設日銷售量為
則日利潤
（2）
①當2≤a≤4時，33≤a+31≤35，當35 <x<41時，
∴當x=35時，L（x）取最大值為
②當4＜a≤5時，35≤a+31≤36，
易知當x=a+31時，L（x）取最大值為
綜合上得
19．解(1)據題意: 
可行域如圖(暫缺)
的幾何意義是定點
到區域內的點
連線的斜率
,
又
故的取值范圍為
(2)當
有零點時,
,滿足條件為
由拋物線的下方與
圍成的區域面積
由直線
圍成的區域面積
故有零點的概率
無零點的概率為
(3)
是
函數.
證明： 
符合條件．
因為
，
同理：
；
．
所以， 符合條件．
20．（1）解：由已知：對于
，總有
①成立
∴
（n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵
均為正數，∴
（n ≥ 2）
∴數列
是公差為1的等差數列
又n=1時，
，
解得
=1
∴
.()
（2）證明：∵對任意實數
和任意正整數n，總有
≤
.……6分
∴
(3)解：由已知 
，
易得 
猜想 n≥2 時，
是遞減數列.
令
∵當
∴在
內
為單調遞減函數.
由
.
∴n≥2 時, 
是遞減數列.即是遞減數列.
又
, ∴數列中的最大項為
.
B．附加題部分
三、附加題部分：
21．（必做題）（本小題滿分12分）
解：（1）將
代入
得
，
由△
可知
，
另一方面，弦長AB
，解得
；
（2）當時，直線為
，要使得內接△ABC面積最大，
則只須使得
，
即
，即位于（4，4）點處．
22．（必做題）（本小題滿分12分）
解：（1）分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件
、
、
；
表示事件“恰有一人通過筆試”
則
（2）解法一：因為甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格的概率均為
，
所以
，故
．
解法二：分別記甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格為事件
，
則
所以
，
，
．
于是，
．
23．（選做題）（本小題滿分8分）
證明：（1）過D點作DG∥BC，并交AF于G點，
∵E是BD的中點，∴BE=DE，
又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，
∴△BEF≌△DEG，則BF=DG，
∴BF：FC=DG：FC，
又∵D是AC的中點，則DG：FC=1：2，
則BF：FC=1：2；
（2）若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，
則由（1）知BF：BC=1：3，
又由BE：BD=1：2可知
：
=1：2，其中、分別為△BEF和△BDC的高，
則
，則
=1：5．
24．（選做題）（本小題滿分8分）
解：（1）消去參數
，得直線
的普通方程為；-----------------------2分
即
，
兩邊同乘以
得
，
消去參數
，得⊙的直角坐標方程為：
（2）圓心到直線的距離
，
所以直線和⊙相交．
25．（選做題）（本小題滿分8分）
解：MN = 
=
，
即在矩陣MN變換下
，
則
，
即曲線
在矩陣MN變換下的函數解析式為
．
26．（選做題）（本小題滿分8分）
證明：（1）當
時，左邊＝
，時成立
（2）假設當
時成立，即
那么當
時，左邊
時也成立
根據（1）（2）可得不等式對所有的
都成立
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com