已知A、D分別為橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點與上頂點，橢圓的離心率e=

3

2

，F₁、F₂為橢圓的左、右焦點，點P是線段AD上的任一點，且

PF1

．

PF2

的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程．
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB（O為坐標原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．
（3）設直線l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l與橢圓E有且僅有一個公共點B₁，當R為何值時，|A₁B₁|取最大值？并求最大值．

已知A、B分別是直線y=

3

3

x和y=-

3

3

x上的兩個動點，線段AB的長為2

3

，D是AB的中點．
（1）求動點D的軌跡C的方程；
（2）過點N（1，0）作與x軸不垂直的直線l，交曲線C于P、Q兩點，若在線段ON上存在點M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，試求m的取值范圍．

已知A、B分別是直線和上的兩個動點，線段AB的長為，D是AB的中點．
（1）求動點D的軌跡C的方程；
（2）過點N（1，0）作與x軸不垂直的直線l，交曲線C于P、Q兩點，若在線段ON上存在點M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，試求m的取值范圍．