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已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性； 

（Ⅱ）設，證明：對任意，.

    1.選修4－1：幾何證明選講

    如圖，的角平分線的延長線交它的外接圓于點

（Ⅰ）證明：∽△;

（Ⅱ）若的面積，求的大小.

證明：（Ⅰ）由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD.

因為∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD.

故△ABE∽△ADC.

（Ⅱ）因為△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE.

又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.

則sin∠BAC＝1，又∠BAC為三角形內角，所以∠BAC＝90°.

 

如圖,三棱錐中,側面底面, ,且,.(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)若為側棱PB的中點,求直線AE與底面所成角的正弦值.

【解析】第一問中，利用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以第二問中結合取AC中點O,連接PO、OB,并取OB中點H,連接AH、EH,因為PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,

則為直線AE與底面ABC 所成角,

解

 (Ⅰ) 證明:由用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以

………………………………………………6分

(Ⅱ)如圖, 取AC中點O,連接PO、OB,并取OB中點H,連接AH、EH,

因為PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,

又EH//PO,所以EH平面ABC ,

則為直線AE與底面ABC 所成角,

且………………………………………10分

又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,

由(Ⅰ)已證平面PBC,所以,即,

故,

于是

所以直線AE與底面ABC 所成角的正弦值為

 

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，

又因為,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得

由此知道a=2,  設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，

又因為,又………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,

設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及二面角的求解的運用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得證明

（3）因為∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴利用法向量的夾角公式，，

∴與的夾角為，即二面角的大小為．

方法一：解:（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接，則點、，

∴，又點，，∴

∴，且與不共線，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴，

∴與的夾角為，即二面角的大小為