題目列表(包括答案和解析)
從一個裝有2個白球、4個紅球和若干個黑球(這些球除了顏色不同外，其余都相同)的袋中，采用有放回的方式摸球，每次摸出一個球．若連續摸兩次，至少有一個黑球的概率為
．
(Ⅰ)求袋中黑球的個數；
(Ⅱ)若連續摸4次球，求摸到紅球恰為2次或3次的概率．
.(1)求袋中黑球的個數;
(2)若連續摸4次,求摸到紅球恰為2次或3次的概率.
一個袋中裝有6只白球和4只紅球，從口袋中任意取出2只球，恰為1只白球、1只紅球的概率是
[ ]
一個袋中裝有6只白球和4只紅球，從口袋中任意取出2只球，恰為1只白球、1只紅球的概率是
[ ]
一個口袋中裝有大小相同的n個紅球(n≥5且n∈N)和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球的顏色不同則為中獎．
(Ⅰ)試用n表示一次摸獎中獎的概率p；
(Ⅱ)記從口袋中三次摸獎(每次摸獎后放回)恰有一次中獎的概率為m，求m的最大值？
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，將5個白球全部取出后，對剩下的n個紅球全部作如下標記：記上i號的有i個(i＝1，2，3，4)，其余的紅球記上0號，現從袋中任取一球．ξ表示所取球的標號，求ξ的分布列、期望和方差．
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．
1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．
13．1或
； 14．-4；
15．1； 16．6．
三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．解：（Ⅰ）∵
，
∴
，????????????????????????? 3分
∴
．??????????????????????? 6分
（Ⅱ）∵
且
，
∴
，∴
，當且僅當
時取＂＝＂．??? 8分
∵
，∴
，???????????? 10分
∴
，當且僅當時取＂＝＂．
故△ABC面積取最大值為
．?????????????????????? 12分
18．解：（Ⅰ）設袋中有黑球n個，則每次取出的一個球是黑球的概率為
， 3分
設“連續取兩次，都是黑球”為事件A，∴
，???????? 5分
∴
，∴
．?????????????????????? 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一個球，取到紅球的概率是
．???????? 7分
設“連續取4次球，取到紅球恰為2次”為事件B，“連續取4次球，取到紅球恰為3次”為事件C，
∴
；?????????????????????? 8分
．???????????????????????? 10分
∴取到紅球恰為2次或3次的概率為
．
故連續取4次球，取到紅球恰為2次或3次的概率等于
.?????????? 12分
19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA
∵側面ABB
，知C到AA1的距離為，
，∴△AA
∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1．??????????????? 4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB兩兩垂直，以O為原點，建立如圖空間直角坐標系，則
，
，
，
，
．則
，
，
，
．??????????????????????????? 5分
設
是平面ABC的一個法向量，
則
即
令
，則
．設A1到平面ABC的距離為d．
∴
．????????????????????? 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC1的一個法向量
．∴
．???????????????? 11分
∴二面角B－AC－C1的余弦值是
．??????????????????? 12分
20．解：（Ⅰ）證明：
時，
，
；?????????????? 1分
時，
，所以
，???????????? 2分
即數列
是以2為首項，公差為2 的等差數列．????????????? 3分
∴
，
，???????????????????? 4分
當時，
，當時，
．???????? 5分
∴
???????????????????????? 6分
（Ⅱ）當時，
，結論成立．????????????? 7分
當時，
?????? 8分
＝
????????????????????? 10分
．???????????????????????? 11分
綜上所述：
．????????????????? 12分
21．解：（Ⅰ）∵
，∴
．比較系數得
，
，
，
．????????????????????????????????? 1分
∴
，
，
，???????????????????? 2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
，令
，得
或
或
．
x
1
2
+
0
-
0
+
0
-
ㄊ
ㄋ
ㄊ
ㄋ
∴函數有極大值
，
，極小值
．????? 4分
∵函數
在區間
上存在極值，
∴
或
或
???????????? 5分
解得
或
或
．
故實數
．??????????????????? 6分
（Ⅲ）函數
的圖象與坐標軸無交點，有如下兩種情況：
（?）當函數的圖象與x軸無交點時，必須有：
即
??????????? 7分
而
，函數
的值域為
，
∴
解得
．???????????????????? 8分
（?）當函數的圖象與y軸無交點時，必須有：
即
而
有意義， 9分
∴
即
解得
．??????????? 10分
由（?）、（?）知，p的范圍是
，
故實數p的取值范圍是
．???????????????????? 12分
22．解：（Ⅰ）設
，
，
，
，
，
，
，
，
．?????????????????????? 2分
∵
，∴
，∴
，∴
．???????? 4分
則N(c，0)，M(0，c)，所以
，
∴
，則
，
． ?????????????????? 5分
∴橢圓的方程為
．?????????????????????? 6分
（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則
，即
,????????? 7分
由
消去y得
．
∵直線l與橢圓交于兩個不同點，設
，
，
∴
，
，?????????????????? 8分
∴
，
由
，?????????????????? 9分
，
．??????????????????????? 10分
．??????????? 11分
（或
）．
設
，則
，
，
，
∴S關于u在區間
單調遞增，又
，
，???????? 13分
∴
．???????????????????????????? 14
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