題目列表(包括答案和解析)
給定
，定義使乘積
為整數的
叫做希望數，則區間
內的所有希望數的和為（ ）
A．2005 B．2026 C．2016 D．2006
已知數列
的通項為
，我們把使乘積
為整數的
叫做“優數”，則在
內的所有“優數”的和為( )
A．1024 B．2012 C．2026 D．2036
給定
,定義乘積
為整數的
叫做希望數,則區間
內的所有希望數之和為________.
已知數列
滿足：
，定義使
為整數的
叫做希望數，則區間[1，2013] 內所有希望數的和M=（ ）
A．2026 B．2036 C．32046 D．2048
已知數列
滿足
．定義：使
乘積
為正整數的
叫做“和諧數”，則在區間
內所有的“和諧數”的和為
A． | B． | C． | D． |
一、 選擇題（每小題5分，共60分）
CADACD CDBDBA
二、填空題（每小題4分，共16分）
13．
14．
15．
16．
三、解答題
17．(本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）∵
，
由
，得
兩邊平方：
=
，∴
=
………………6分
（Ⅱ）∵
，
∴
，解得
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
設
的夾角為
，則
，∴
即的夾角為
. …………… 12分
18. (本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）小王在一年內領到駕照的概率為:
………………………（
4分）
（Ⅱ）
的取值分別為1，2，3.
，
………………………（
8分）
所以小王參加考試次數的分布列為：
1
2
3
0.6
0.28
0.12
所以的數學期望為
……………………12分
19．(本小題滿分12分)
（Ⅰ）證明：由已知得
，所以
，即
，
又
，
，∴
，
平面
∴平面
平面
.……………………………4分（文6分）
（Ⅱ）解：設
的中點為
，連接
，則
∥
，
∴
是異面直線和
所成的角或其補角
由（Ⅰ）知
，在
中，
，
，
∴
.
所以異面直線和所成的角為
.…………………8分（文12分）
（Ⅲ）（解法一）由已知得四邊形
是正方形，
∴
又
，∴
，
過點
做
于
，連接
，則
，
則
即二面角
的平面角，
在
中，
，所以
，
又
，由余弦定理得
，
所以二面角的大小為
．……………12分
（解法二）向量法
設
為
的中點，則
，以為坐標原點，
所在直線分別為
軸建立空間直角坐標系，
則
，
設平面
的法向量
由
得
由
得
所以
同理得平面
的法向量
，
所以所求二面角的大小為
．………………12分
20．(本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）
當
時，
，∴
.
當
……………6分
（Ⅱ）當
時，由（Ⅰ）的討論可知
即
∴
∴
………………12分
21．(本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）∵
∴
∴
令
，則
，∴
，∴
∴
．……………6分
（Ⅱ）證明：
∴
又∵
，∴
∴
∴
．………………12分
22．(本小題滿分14分)
解：（Ⅰ）①當直線
軸時，
則
，此時
，∴
.
（不討論扣1分）
②當直線
不垂直于
軸時，
，設雙曲線的右準線為
，
作
于
，作
于
，作
于
且交軸于
根據雙曲線第二定義有：
，
而
到準線的距離為
.
由
，得：
，
∴
，∴
，∵此時
，∴
綜上可知．………………………………………7分
（Ⅱ）設：
，代入雙曲線方程得
∴
令
，則
，且
代入上面兩式得：
①
②
由①②消去
得
即
③
由
有：
，綜合③式得
由
得
，解得
∴
的取值范圍為
…………………………14分
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