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如圖，已知橢圓的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓和判斷C₂與C₁是否相似，如果相似則求出C₂與C₁的相似比，若不相似請說明理由；
（2）寫出與橢圓C₁相似且半短軸長為b的橢圓C_b的方程，并列舉相似橢圓之間的三種性質（不需證明）；
（3）已知直線l：y=x+1，在橢圓C_b上是否存在兩點M、N關于直線l對稱，若存在，則求出函數f（b）=|MN|的解析式．

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如圖，已知橢圓的焦點和上頂點分別為、、，我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
（1）已知橢圓和，判斷與是否相似，如果相似則求出與的相似比，若不相似請說明理由；
（2）若與橢圓相似且半短軸長為的橢圓為，且直線與橢圓為相交于兩點(異于端點)，試問：當面積最大時，是否與有關？并證明你的結論.
（3）根據與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程，提出你認為有價值的相似橢圓之間的三種性質（不需證明）；

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一、          填空題：

 1、   2、   3、128  4、  5、64     6、 

 7、    8、    9、-4  10、15  11、

 12、（1）（2）（5）

二、選擇題：

 13、D      14、  C    15、  B    16、 C

17、解：以A為原點，以AB、AD、AP所在直線分別軸，

建立空間直角坐標系。 -----2分

則  C（2，1，0） N（1，0，1）  =（-1，-1，1）---4分

        D（0，2，0） M（1，，1） =（1，-，1）---6分

設與的夾角為，

  ----8分  

  ---10分

  異面直線與所成的角為  -----12分

18、解：延長，作交于D，------4分

設，則

 ------8分

解得．------10分

故船繼續朝原方向前進有觸礁的危險．-----12

19、解： (1)因為f(x+y)=f(x)+f(y)，

令x=y=0，代入①式，-----2分

得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0  --------4分

（２）令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，

則有0=f(x)+f(-x)．------6分

即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，

所以f(x)是奇函數．．．．．．．8分

(3)    f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，

又f(x)在R上是單調函數，所以f(x)在R上是增函數，----10分

又由(1)f(x)是奇函數．

  f(k?3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，

k?3＜-3+9+2，

得_------12分

_------------１4分

20、解：（1）為等差數列，∵，又，

∴ ，是方程的兩個根

又公差，∴，∴，      --------     2分

∴    ∴   ∴     -----------4分

（2）由(1)知，         -----------5分

∴

∴，，         ------------7分

∵是等差數列，∴，∴    ----------8分

∴（舍去）                         ------------9分

（3）由(2)得                    -------------11分

  ，時取等號 ------- 13分

，時取等號15分

(1)、(2)式中等號不可能同時取到，所以   -----------16分

21、解：（1）橢圓與相似.   -----2分

因為的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，

而橢圓的特征三角形是腰長為2，

底邊長為的等腰三角形，

因此兩個等腰三角形相似，且相似比為.                                                                                                              --- 6分

（2）橢圓的方程為：.        --------8分

假定存在，則設、所在直線為，中點為.

則.       -------10分

所以.

中點在直線上，所以有.        ----12分

.

.     -------14分

（3）橢圓的方程為：.        

兩個相似橢圓之間的性質有：                          寫出一個給2分

①     兩個相似橢圓的面積之比為相似比的平方；

②     分別以兩個相似橢圓的頂點為頂點的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；

③     兩個相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點重合；

過原點的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比.    ----20分