題目列表(包括答案和解析)
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
|
| π |
| 4 |
| 2 |
在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點
，
，
若點C滿足
，點C的軌跡與拋物線
交于A、B兩點．
（I）求證：
；
（II）在
軸正半軸上是否存在一定點
，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.
在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點
，
，若點C滿足
，點C的軌跡與拋物線
交于A、B兩點．
（I）求證：
；
（II）在
軸正半軸上是否存在一定點
，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
一、選擇題（每小題5分，共計60分）
ABADD CACAC AB
二、填空題（每小題4分，共計16分）
（13）4；（14）
；（15）
；（16）①④.
三、解答題：
17.解：（本小題滿分12分）
(Ⅰ) 由題意
由題意，函數周期為3
，又
＞0，
；
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
又x
，
的減區間是
.
(18) （本小題滿分12分）
解：（1）隨機變量
的所有可能取值為
所以隨機變量的分布列為
0
1
2
3
4
5
（2）∵隨機變量
∴
19. （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
∵ 底面ABCD是正方形，
∴AB⊥BC,
又平面PBC⊥底面ABCD
平面PBC ∩ 平面ABCD=BC
∴AB ⊥平面PBC
又PC
平面PBC
∴AB ⊥CP ………………3分
（Ⅱ）解法一：體積法.由題意，面
面
，
取
中點
，則
面.
再取
中點
，則
………………5分
設點
到平面
的距離為
，則由
.
………………7分
解法二：
面
取中點，再取中點
，
過點作
，則
在
中，
由
∴點到平面的距離為
。 ………………7分
解法三：向量法（略）
（Ⅲ）
面
就是二面角
的平面角.
∴二面角的大小為45°. ………………12分
方法二：向量法（略）.
（20）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）方法一：∵
，
∴
．
設直線
,
并設l與g(x)=x2相切于點M(
)
∵
∴2
∴
代入直線l方程解得p=1或p=3.
方法二：
將直線方程l代入 
得
∴
解得p=1或p=3 .
（Ⅱ）∵
，
①要使為單調增函數，須
在
恒成立，
即
在恒成立，即
在恒成立，
又
，所以當
時，在為單調增函數； …………6分
②要使為單調減函數，須
在恒成立，
即
在恒成立，即
在恒成立，
又
，所以當
時，在為單調減函數．
綜上，若在為單調函數，則
的取值范圍為或．………8分
(21) （本小題滿分12分）
（1）∵直線
的方向向量為
∴直線的斜率為
，又∵直線過點
∴直線的方程為
∵
，∴橢圓的焦點為直線與
軸的交點
∴橢圓的焦點為
∴
，又∵
∴
，∴
∴橢圓方程為
（2）設直線MN的方程為
由
，得
設
坐標分別為
則
(1) 
(2)
＞0
∴
,
∵
，顯然
，且
∴
∴
代入(1) (2)，得
∵,得
，即
解得
且
.
(22) （本小題滿分14分）
(1) 解：過
的直線方程為
聯立方程
消去
得
∴
即
（2）
∴
是等比數列
，
;
（III）由（II）知，
，要使
恒成立由
=
＞0恒成立，
即（－1）nλ＞-（
）n－1恒成立．
?。當n為奇數時，即λ<（）n－1恒成立．
又（）n－1的最小值為1．∴λ<1． 10分
?。當n為偶數時，即λ>－（）n-1恒成立，
又－（）n－1的最大值為－，∴λ>－． 11分
即－<λ<1，又λ≠0，λ為整數，
∴λ＝－1，使得對任意n∈N*,都有．
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