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已知函數f（x）=ax²+bx+c滿足：f（1）=3，且f（x）在R上為奇函數．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設，若不等式對n∈N⁺恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=1，；b₁=1，，記，問是否存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，說明理由．

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解：原不等式可化為：＞0，

即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.

當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解.

若≥2，即0≤a＜1時，原不等式無解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞).

當a＜1時，若a＜0，解集為(，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)

綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2）.

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一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：

    ①  或   ②  或   ③

解①得a＜－2，解②得－＜a＜1，解③得x∈

∴a的取值范圍是(－∞，－2)∪(－，1）

答案：C

二、

2.解析：由已知b＞a²∵f(x)，g(x)均為奇函數，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a²)，g(x)＜0的解集是(－).由f(x)?g(x)＞0可得：

∴x∈(a²，)∪(－，－a²)

答案：(a²，)∪(－，－a²)

3.解析：原方程可化為cos²x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t²－2t－a－1=0，原問題轉化為方程t²－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一個實根.令f(t)=t²－2t－a－1，對稱軸t=1，畫圖象分析可得解得a∈［－2，2］.

答案：［－2，2］

三、

4.解：(1)∵適合不等式|x²－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值為3，

∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x.

若|x²－4x+p|=－x²+4x－p，則原不等式為x²－3x+p+2≥0，其解集不可能為{x|x≤3}的子集，∴|x²－4x+p|=x²－4x+p.

∴原不等式為x²－4x+p+3－x≤0，即x²－5x+p－2≤0，令x²－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.

(2)f(x)=，∴f^-－1(x)=log₈ (－1＜x＜1，

∴有log₈＞log₈，∴log₈(1－x)＜log₈k，∴1－x＜k，∴x＞1－k.

∵－1＜x＜1，k∈R⁺，∴當0＜k＜2時，原不等式解集為{x|1－k＜x＜1}；當k≥2時，原不等式的解集為{x|－1＜x＜1.

5.解：由f(1)=得a+b+c=，令x²+=2x²+2x+x=－1，由f(x)≤2x²+2x+推得

f(－1)≤.

由f(x)≥x²+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=，故

2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax²+x+(－a).

依題意：ax²+x+(－a)≥x²+對一切x∈R成立，

∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)²≤0，

∴f(x)=x²+x+1

易驗證：x²+x+1≤2x²+2x+對x∈R都成立.

∴存在實數a=，b=1，c=1，使得不等式：x²+≤f(x)≤2x²+2x+對一切x∈R都成立.

6.解：(1)∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，即當x∈［－1，1］時，f(x)≤0，當x∈［1，3］時，f(x)≥0，∴當x=1時f(x)=0.∴1+p+q=0，∴q=－(1+p)

(2)f(x)=x²+px－(1+p)，

當sinθ=－1時f(－1)≤0，∴1－p－1－p≤0，∴p≥0

(3)注意到f(x)在［1，3］上遞增，∴x=3時f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p－1－p=14，∴p=3.

此時，f(x)=x²+3x－4，即求x∈［－1，1］時f(x)的最小值.又f(x)=(x+)²－，顯然此函數在［－1，1］上遞增.

∴當x=－1時f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6.

7.解：(1)當a＞1時，原不等式等價于不等式組

由此得1－a＞.因為1－a＜0，所以x＜0，∴＜x＜0.

(2)當0＜a＜1時，原不等式等價于不等式組：                     

由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜，∴1＜x＜.

綜上，當a＞1時，不等式的解集是{x|＜x＜0，當0＜a＜1時，不等式的解集為{x|1＜x＜}.

8.解：由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)，x∈(0，1恒成立.

在x∈(0，1恒成立.

整理，當x∈(0，1)時，恒成立，即當x∈(0，1時，恒成立，且x=1時，恒成立，

∵在x∈(0，1上為減函數，∴＜－1，

∴m＜恒成立m＜0.

又∵，在x∈(0，1上是減函數，?

∴＜－1.

∴m＞恒成立m＞－1當x∈(0，1)時，恒成立m∈(－1，0)①

當x=1時，，即是∴m＜0                                                 ②

∴①、②兩式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1時，f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)恒成立，m的取值范圍是(－1，0)