題目列表(包括答案和解析)
設zn=(
)n，(n∈N*)，記Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，則
Sn=_________
設zn=(
)n，(n∈N*)，記Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，則
Sn=_________.
)n，(n∈N*)，記Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，則
Sn=_________.
)n，(n∈N*)，記Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，則
Sn=_________
難點磁場
解析：(1)由題意，當n=1時，有
，S1=a1，
∴
，解得a1=2.當n=2時，有
，S2=a1+a2，將a1=2代入，整理得(a2－2)2=16，由a2＞0，解得a2=6.當n=3時，有
，S3=a1+a2+a3，將a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64，由a3＞0，解得a3=10.故該數列的前3項為2，6，10.
(2）解法一：由(1）猜想數列{an}.有通項公式an=4n－2.下面用數學歸納法證明{an}的通項公式是an=4n－2，(n∈N*）.
①當n=1時，因為4×1－2=2，，又在(1)中已求出a1=2，所以上述結論成立.
②假設當n=k時，結論成立，即有ak=4k－2，由題意，有
，將ak=4k－2.代入上式，解得2k=
，得Sk=2k2，由題意，有
，Sk+1=Sk+ak+1，將Sk=2k2代入得(
)2=2(ak+1+2k2)，整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2，即當n=k+1時，上述結論成立.根據①②，上述結論對所有的自然數n∈N*成立.
解法二：由題意知
，(n∈N*).整理得，Sn=
(an+2)2,由此得Sn+1=(an+1+2)2，∴an+1=Sn+1－Sn=［(an+1+2)2－(an+2)2］.整理得(an+1+an）(an+1－an－4)=0，由題意知an+1+an≠0，∴an+1－an=4，即數列{an}為等差數列，其中a1=2，公差d=4.∴an=a1+(n－1)d=2+4(n－1)，即通項公式為an=4n－2.
解法三：由已知得,(n∈N*)①，所以有
②，由②式得
，整理得Sn+1－2
?
+2－Sn=0，解得
，由于數列{an}為正項數列，而
，因而
，即{Sn}是以
為首項，以為公差的等差數列.所以
= +(n－1) =n,Sn=2n2，
故an=
即an=4n－2(n∈N*).
(3)令cn=bn－1，則cn=
殲滅難點訓練
一、
答案：1+
2.解析：由題意所有正三角形的邊長構成等比數列{an}，可得an=
，正三角形的內切圓構成等比數列{rn}，可得rn=
a,?
∴這些圓的周長之和c=
2π(r1+r2+…+rn)=
a2，
面積之和S=π(n2+r22+…+rn2)=
a2
答案：周長之和
πa，面積之和a2
二、3.解：(1）可解得
，從而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
(3)Tn－Sn=2n－n2－1，驗證可知，n=1時，T1=S1，n=2時T2＜S2；n=3時，T3＜S3;n=4時，T4＜S4；n=5時，T5＞S5；n=6時T6＞S6.猜想當n≥5時，Tn＞Sn，即2n＞n2+1
可用數學歸納法證明(略）.
4.解：(1）由an+2=2an+1－an
an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差數列，?
d=
=－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當n≤5時，Sn=－n2+9n，當n＞5時，Sn=n2－9n+40，故Sn=
(3)bn=
；要使Tn＞
總成立，需＜T1=
成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7.
5.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)－man+1?①，Sn=(m+1)－man②,由①－②，得an+1=man－man+1，即(m+1)an+1=man對任意正整數n都成立.
∵m為常數，且m＜－1
∴
，即{
}為等比數列.
(2)當n=1時，a1=m+1－ma1，∴a1=1，從而b1=
.
由(1)知q=f(m)=
，∴bn=f(bn－1)=
(n∈N*,且n≥2)
∴
，即
，∴{
}為等差數列.∴=3+(n－1)=n+2，
(n∈N*).
6.解：(1)設數列{bn}的公差為d，由題意得：
解得b1=1,d=3,
∴bn=3n－2.
(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+
)
=loga［(1+1)(1+)…(1+)］，logabn+1=loga
.
因此要比較Sn與logabn+1的大小，可先比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小，
取n=1時，有(1+1)＞
取n=2時，有(1+1)(1+)＞
…
由此推測(1+1)(1+)…(1+)＞
①
若①式成立，則由對數函數性質可判定：
當a＞1時，Sn＞logabn+1， ②
當0＜a＜1時，Sn＜logabn+1， ③
下面用數學歸納法證明①式.
(?)當n=1時，已驗證①式成立.
(?)假設當n=k時(k≥1），①式成立，即：
.那么當n=k+1時，
這就是說①式當n=k+1時也成立.
由(?）(?）可知①式對任何正整數n都成立.
由此證得：
當a＞1時，Sn＞logabn+1；當0＜a＜1時，Sn＜logabn+1?.
7.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t.
∴a2=
.
又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t， ①
3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t ②
①－②得3tan－(2t+3)an－1=0.
∴
,n=2,3,4…,所以{an}是一個首項為1公比為
的等比數列；
(2)由f(t)= =
,得bn=f(
)=
+bn－1?.
可見{bn}是一個首項為1，公差為的等差數列.
于是bn=1+(n－1)=
;
(3)由bn=,可知{b2n－1}和{b2n}是首項分別為1和
，公差均為
的等差數列，于是b2n=
,
∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1?
=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)
=－ (b2+b4+…+b2n)=－?
n(+)=－
(2n2+3n)
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