題目列表(包括答案和解析)
已知拋物線C：y=－x2+mx－1和點A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不同交點的充要條件。
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已知拋物線C：y=－x2+mx－1和點A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不同交點的充要條件。
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已知拋物線C：y=－x2+mx－1和點A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不同交點的充要條件。
難點磁場
證明：(1）充分性：由韋達定理，得|b|=|α?β|=|α|?|β|＜2×2=4.
設f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.
即有
4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜4
4+b>02|a|＜4+b
(2)必要性：
由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.
∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內或無實根.
∵α，β是方程f(x)=0的實根，
∴α，β同在(－2，2）內，即|α|＜2且|β|＜2.
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一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此時f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x?|x|=－(x|x+0|+b)
=－(x|x+a|+b)=－f(x).
∴a2+b2=0是f(x)為奇函數的充分條件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數，即f(－x)=
(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),則必有a=b=0,即a2+b2=0.
∴a2+b2=0是f(x)為奇函數的必要條件.
答案：D
2.解析：若a=1,則y=cos2x－sin2x=cos2x,此時y的最小正周期為π.故a=1是充分條件，反過來，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函數y的最小正周期為π,則a=±1,故a=1不是必要條件.
答案：A
二、3.解析：當a=3時，直線l1:3x+2y+9=0;直線l2:3x+2y+4=0.∵l1與l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3
l1∥l2.
答案：充要條件
4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交點，則F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，過P(x0,y0);反之不成立.
答案：充分不必要
三、5.解：根據韋達定理得a=α+β,b=αβ.判定的條件是p:
結論是q:
(注意p中a、b滿足的前提是Δ=a2－4b≥0)
(1)由，得a=α+β>2,b=αβ>1,∴qp
(2)為證明p
q,可以舉出反例：取α=4,β=
,它滿足a=α+β=4+>2,b=αβ=4×=2>1,但q不成立.
綜上討論可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分條件.
6.證明：①必要性：
設{an}成等差數列，公差為d,∵{an}成等差數列.
從而bn+1－bn=a1+n?
d－a1－(n－1) d=d為常數.?
故{bn}是等差數列，公差為d.
②充分性:
設{bn}是等差數列，公差為d′,則bn=(n－1)d′?
∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①
bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an ②
①－②得：nan=
bn－1?
∴an=
,從而得an+1－an=
d′為常數，故{an}是等差數列.
綜上所述，數列{an}成等差數列的充要條件是數列{bn}也是等差數列.
7.解：①必要性：
由已知得，線段AB的方程為y=－x+3(0≤x≤3)
由于拋物線C和線段AB有兩個不同的交點，
所以方程組
*有兩個不同的實數解.
消元得：x2－(m+1)x+4=0(0≤x≤3)
設f(x)=x2－(m+1)x+4,則有
②充分性：
當3＜x≤
時，
x1=
>0
∴方程x2－(m+1)x+4=0有兩個不等的實根x1,x2,且0＜x1＜x2≤3,方程組*有兩組不同的實數解.
因此，拋物線y=－x2+mx－1和線段AB有兩個不同交點的充要條件3＜m≤.
8.解：若關于x的方程x2+mx+n=0有2個小于1的正根，設為x1,x2.
則0＜x1＜1,0＜x2＜1,有0＜x1+x2＜2且0＜x1x2＜1,
根據韋達定理：
有－2＜m＜0;0＜n＜1即有qp.
反之，取m=－
＜0
方程x2+mx+n=0無實根，所以pq
綜上所述，p是q的必要不充分條件.
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