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如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及二面角的求解的運用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得證明

（3）因為∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴利用法向量的夾角公式，，

∴與的夾角為，即二面角的大小為．

方法一：解:（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接，則點、，

∴，又點，，∴

∴，且與不共線，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴，

∴與的夾角為，即二面角的大小為

如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，為中點．（Ⅰ）求點B到平面的距離；（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【解析】第一問中利用因為，為中點，所以

而平面平面，所以平面，再由題設條件知道可以分別以、、為，， 軸建立直角坐標系得，，，，，，

故平面的法向量而，故點B到平面的距離

第二問中，由已知得平面的法向量，平面的法向量

故二面角的余弦值等于

解：（Ⅰ）因為，為中點，所以

而平面平面，所以平面，

  再由題設條件知道可以分別以、、為，， 軸建立直角坐標系，得，，，，

，，故平面的法向量

而，故點B到平面的距離

（Ⅱ）由已知得平面的法向量，平面的法向量

故二面角的余弦值等于

如圖，已知向量，可構成空間向量的一個基底，若，在向量已有的運算法則的基礎上，新定義一種運算，顯然的結果仍為一向量，記作．

1、求證：向量為平面的法向量；

2、求證：以為邊的平行四邊形的面積等于；

將四邊形按向量平移，得到一個平行六面體，試判斷平行六面體的體積與的大小．

如圖，已知向量，可構成空間向量的一個基底，若

，在向量已有的運算法則的基礎上，新定義一種運算，顯然的結果仍為一向量，記作．

求證：向量為平面的法向量；

求證：以為邊的平行四邊形的面積等于；

將四邊形按向量平移，得到一個平行六面體，試判斷平行六面體的體積與的大小．

（理科）平面中，點坐標為，點坐標為，點坐標為.若向量，且為平面的法向量，則=        .