題目列表(包括答案和解析)
某數學老師對本校2013屆高三學生的高考數學成績按1:200進行分層抽樣抽取了20名學生的成績，并用莖葉圖記錄分數如圖所示，但部分數據不小心丟失，同時得到如下所示的頻率分布表：
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分數段（分） |
[50,70) |
[70,90) |
[90,110) |
[110,130) |
[130,150) |
總計 |
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頻數 |
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b |
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頻率 |
a |
0.25 |
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（1）求表中a，b的值及分數在[90,100)范圍內的學生人數，并估計這次考試全校學生數學成績的及格率（分數在[90,150）內為及格）：
(2)從成績大于等于110分的學生中隨機選兩人，求這兩人成績的平均分不小于130分的概率.
某數學老師對本校2013屆高三學生的高考數學成績按1:200進行分層抽樣抽取了20名學生的成績，并用莖葉圖記錄分數如圖所示，但部分數據不小心丟失，同時得到如下所示的頻率分布表：
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分數段（分） |
[50,70) |
[70,90) |
[90,110) |
[110,130) |
[130,150) |
總計 |
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頻數 |
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b |
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頻率 |
a |
0.25 |
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（1）求表中a，b的值及分數在[90,100)范圍內的學生人數，并估計這次考試全校學生數學成績的及格率（分數在[90,150）內為及格）：
（2）從成績在[100,130)范圍內的學生中隨機選4人，
設其中成績在[100,110)內的人數為X，求X的分布列及數學期望.
A.隨機數表抽樣 B.系統抽樣 C.抽簽抽樣 D.分層抽樣
一. 選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
題號
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
A
B
A
D
D
B
C
C
二. 填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）
(9) 
(10) 
(11) 
或
(12) 
(13) 
，
(14) 10,
三.解答題 （本大題共6小題,共80分）
(15) (共12分)
解：（I）
，
，
=
?
------------------2分
------------------4分
= 
.
------------------5分
又
-----------------6分
函數的最大值為
.
------------------7分
當且僅當
（
Z）時，函數取得最大值為.
（II）由
（Z），
------------------9分
得
，
------------------11分
函數的單調遞增區間為[
]（Z）. ------------------12分
(16) （共14分）
解法一：
解：（Ⅰ）
且
平面
.--------------------2分
為
在平面內的射影.
--------------------3分
又
⊥
, ∴⊥
.
--------------------4分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥，
∴
為所求二面角的平面角.
--------------------6分
又∵
=
=4,
∴=4 . ∵=2 , ∴=60°.
--------------------9分
即二面角
大小為60°.
（Ⅲ）過
作
于D，連結
,
由（Ⅱ）得平面
平面
,又
平面
,
∴平面
平面,且平面
平面
,
∴
平面.
∴
為
在平面內的射影.
. -----------------11分
在
中，
，
在
中，
，
.
∴
=
.
-------------------13分
所以直線
與平面
所成角的大小為
.
-------------------14分
解法二：
解：（Ⅰ）由已知
，
以
點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
.
則 
,
.
-------------------2分
則
，
.
.
.
-------------------4分
（Ⅱ）
，
平面.
是平面的法向量. -------------------5分
設側面的法向量為
,
,.
,
.令
則
.
則得平面的一個法向量
. -------------------7分
.
-------------------8分
即二面角大小為60°.
-------------------9分
（Ⅲ）由（II）可知是平面的一個法向量.
-------------------10分
又
， 
.
-------------------13分
所以直線與平面所成角為
.
-------------------14分
（17）（共13分）
解：（I）設乙闖關成功的概率為
，丙闖關成功的概率為
-------------------1分
因為乙丙獨立闖關，根據獨立事件同時發生的概率公式得：
-------------------3分
解得
.
-------------------5分
答：乙闖關成功的概率為
，丙闖關成功的概率為
.
（II）團體總分為4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人過關，而另外一人沒過關.
設“團體總分為4分”為事件A， -------------------6分
則
-------------------9分
答：團體總分為4分的概率為
.
（III）團體總分不小于4分, 即團體總分為4分或6分，
設“團體總分不小于4分”為事件B， -------------------10分
由（II）知團體總分為4分的概率為，
團體總分為6分, 即3人都闖關成功的概率為
------------------- 12分
所以參加復賽的概率為
=
-------------------13分
答：該小組參加復賽的概率為
.
(18) （共13分）
解：（Ⅰ）第5行第5個數是29. ……………2分
(II) 由
得
.
……………3分
設
是數列
的前
項和， ∴
.
當
時，
……………5分
當
時，
……………6分
又當時，
，
∴
……………8分
即數列的通項公式是
（III）由 (II)知數列是首項為1，公差為2的等差數列.
…………… 9分
∵前
行共有項
∴第
行的第一項為
………… 11分
∴第行構成首項為
,公差為2的等差數列，且有項.
∴
.
……………13分
（19）（共14分）
解：（I）設點
, 由已知得點
在
的中垂線上,
-------------------1分
即
,
------------------2分
根據拋物線的定義知,動點在以F為焦點,以直線m為準線的拋物線上， ------------------4分
∴點
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