題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分,第3小題滿分2分.
設直線
交橢圓
于
兩點，交直線
于點
．
（1）若為
的中點，求證:
；
（2）寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真；
（3）請你類比橢圓中（1）、（2）的結論，寫出雙曲線中類似性質(zhì)的結論（不必證明）．
(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分6分.
（理）已知橢圓
的一個焦點為
，點
在橢圓
上，點
滿足
（其中
為坐標原點），過點
作一直線交橢圓于
、
兩點 .
(1)求橢圓的方程；
(2)求
面積的最大值；
(3)設點
為點關于
軸的對稱點，判斷
與
的位置關系，并說明理由.
(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分6分.
（文）已知橢圓
的一個焦點為
，點
在橢圓
上，點
滿足
（其中
為坐標原點）, 過點
作一斜率為
的直線交橢圓于
、
兩點(其中點在
軸上方，點在軸下方) .
(1)求橢圓的方程；
(2)若
，求
的面積；
(3)設點
為點關于軸的對稱點，判斷
與
的位置關系，并說明理由.
（本題共3小題，滿分16分。第1小題滿分４分，第2小題滿分6分，第3小題６分）
設數(shù)列
的前
項和為
，若對任意的
，有
且
成立．
（1）求
、
的值；
（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出其通項公式
；
（3）設數(shù)列
的前
項和為
，令
，若對一切正整數(shù)，總有
，求
的取值范圍．
(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分,第3小題滿分2分.
設直線
交橢圓
于
兩點，交直線
于點
．
（1）若為
的中點，求證:
；
（2）寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真；
（3）請你類比橢圓中（1）、（2）的結論，寫出雙曲線中類似性質(zhì)的結論（不必證明）．
一、填空題
1. 高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image304.gif)
2.
高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image306.gif)
3.156
4. -高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image308.gif)
5. 高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image310.gif)
6．高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image312.gif)
7．高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image314.gif)
8．（理）高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image316.gif)
（文）高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image318.gif)
9．0
10．高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image320.gif)
11．（理）高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image322.gif)
（文）高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image119.gif)
二、選擇題
12.C 13.B 14.(理)C （文）B 15.B
三、解答題
16. 【解】（1）由已知：高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image325.gif)
， （2分）
即高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image327.gif)
， （4分）
∴高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image329.gif)
，故高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image331.gif)
。
（6分）
（2）由高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image333.gif)
，得高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image335.gif)
， （8分）
∴高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image337.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image339.gif)
。 （10分）
故高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image341.gif)
。
（12分）
17.【解】
（理）設三次事件依次為高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image343.gif)
，命中率分別為高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image345.gif)
，
（1）令高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image347.gif)
，則高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image349.gif)
，∴高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image351.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image353.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image355.gif)
。 （6分）
（2）高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image357.gif)
。 （13分）
（文）拋物線高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image359.gif)
的準線是高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image361.gif)
，
（3分）
雙曲線高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image363.gif)
的兩條漸近線是高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image365.gif)
。 （6分）
三條線為成得三角形區(qū)域的頂點為高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image367.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image369.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image371.gif)
，（10分）
當高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image373.gif)
時，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image375.gif)
。
（13分）
18.【解】（1）高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image377.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image379.gif)
。（4分）
（2）令高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image381.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image383.gif)
，
高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image385.gif)
，（8分）
即三位市民各獲得140、100和110元折扣。（10分）
（3）高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image387.gif)
（元）。（16分）
19.【解】（1）直線高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image389.gif)
的法向量高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image391.gif)
，的方程：高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image394.gif)
，
即為高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image396.gif)
；…（2分）
直線高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image398.gif)
的法向量高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image400.gif)
，的方程：高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image403.gif)
，
即為高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image405.gif)
。 （4分）
（2）高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image407.gif)
。 （6分）
設點高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image250.gif)
的坐標為高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image410.gif)
，由高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image412.gif)
，得高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image414.gif)
。（8分）
由橢圓的定義的知存在兩個定點高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image416.gif)
，使得高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image418.gif)
恒為定值4。
此時兩個定點為橢圓的兩個焦點。（10分）
（3）設高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image421.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image423.gif)
，則高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image425.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image427.gif)
，
由高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image429.gif)
，得高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image431.gif)
。（12分）
高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image433.gif)
；
當且僅當高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image435.gif)
或高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image437.gif)
時，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image439.gif)
取最小值。（14分）
高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image442.gif)
，故高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image444.gif)
與高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image446.gif)
平行。（16分）
20.【解】（1）由高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image448.gif)
，得高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image450.gif)
。由高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image452.gif)
，得第二行的公差高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image454.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image456.gif)
，∴高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image458.gif)
。（2分）
由，，得高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image462.gif)
，∴高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image464.gif)
。（4分）
（2）高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image466.gif)
；（6分）
高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image468.gif)
。（10分）
（3）高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image470.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image472.gif)
， 兩式相減，得高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image474.gif)
，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image476.gif)
。（12分）當高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image478.gif)
時，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image480.gif)
。（13分）
①高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image482.gif)
時，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image484.gif)
顯然能被21整除；（14分）
②假設高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image486.gif)
時，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image488.gif)
能被21整除，當高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image490.gif)
時，
高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image492.gif)
能被21整除。結論也成立。（17分）
由①、②可知，當高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image494.gif)
是3的倍數(shù)時，高三數(shù)學調(diào)研試卷%20%20數(shù)學.files/image496.gif)
能被21整除。（18分）
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