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2008年12月底，一考生參加某大學的自主招生考試，需進行書面測試，測試題中有4道題，每一道題能否正確做出是相互獨立的，并且每一道題被該考生正確做出的概率都是，
（1）若該考生至少正確做出3道題，才能通過書面測試這一關，求這名考生通過書面測試的概率；
（2）如果記該考生答完4道題后所答對的題數為ξ，求ξ的分布列、數學期望與方差。

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一、選擇題：（共60分）

1．B   2．C   3．A   4．A   5．C   6．B   7．D   8．B   9．C   10．B   11．D  12．A

二、填空題；（本大題共5小題，每小題5分，共20分）

13．-3    14．   15．    16．180

三、解答題：本大題有6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17．解：（1）         1分

                          5分

      （2）             7分

            由余弦定理   9分

                                                             10分

18． （1）記“該考生正確做出第道題”為事件則由于每一道題能否被正確做出是相互獨立的，所以這名考生首次做錯一道題時，已正確做出了兩掏題的概率為

（2）記“這名考生通過書面測試”為實踐A，則這名考生至少正確做出3道題，即正確做出3道題或4道題，故        6分

19．解法一：

（1）在直平行六面體-中，

         又

                              4分

         又           6分

     （2）如圖，連

         易證

         ，又為中點，

                8分

           取中點，連，則，

           作由三垂線定理知：，則 是

二面角的平面角            10分

           在中，易求得

           中，

           則二面角的大小為              12分

   解法二：

（1）以為坐標原點，射線為軸，建立如圖所示坐標為，

     依題設，

     又

                     6分

 （2）由

                8分

      由（1）知平面的一個法向量為=

      取，

           10分

  二面角的大小為

20．解：（1）由已知得：

         設數列的公比為，由     4分

         可知

          由題意得》

          故數列

       （2）由于

21．解：（1）由已知得

          由

           當

          由題意得

          故,為所求

       （2）由（1）知

           即

           又

22．解：（1）設則

得

             化簡得

       （2）將代入得，

        法一：兩點不可能關于軸對稱，的斜率必存在

              設直線的方程

               由

               且

 將代入化簡得

   將代入得，過定點

   將入過定點（1，2）即為A點，舍去

                  直線過定點為（-1，-2）

          法二：設

    同理

                   設直線的方程為

                   得

                   直線的方程為

                  即直線過定點（-1，-2）

22．解：（1）由

            于是

            即

            有

       （2）由（1）得

             而

                  =

                  =

              當

              故命題得證