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一段長為32米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18米，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

【解析】解：令矩形與墻垂直的兩邊為寬并設矩形寬為，則長為

所以矩形的面積   （）     （4分=128    （8分）

當且僅當時，即時等號成立，此時有最大值128

所以當矩形的長為=16，寬為8時，

菜園面積最大，最大面積為128 （13分）答：當矩形的長為16米，寬為8米時。菜園面積最大，最大面積為128平方米（注：也可用二次函數模型解答）

改革開放以來，我國高等教育事業有了突飛猛進的發展，有人記錄了某村到年十年間每年考入大學的人數．為方便計算，年編號為，年編號為，…，年編號為．數據如下：

（１）從這年中隨機抽取兩年，求考入大學的人數至少有年多于人的概率；

（２）根據前年的數據，利用最小二乘法求出關于的回歸方程，并計算第年的估計值和實際值之間的差的絕對值。

【解析】（1）設考入大學人數至少有1年多于15人的事件為A則P（A）=1-=      （4’）

（2）由已知數據得=3,=8,=3+10+24+44+65=146=1+4+9+16+25=55（7’）

則=,                   （9’）

 則回歸直線方程為y=2.6x+0.2                           （10’）

則第8年的估計值和真實值之間的差的絕對值為

在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1、2、3、4的四個球，現從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個小球被取出的可能性相等。

（1）求取出的兩個球上標號為相鄰整數的概率；

（2）求取出的兩個球上標號之和能被3整除的概率.

【解析】本試題主要考查了古典概型概率的求解。第一問中，基本事件數為共有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），

（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）

總數為16種．其中取出的兩個小球上標號為相鄰整數的基本事件有：

（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6種利用古典概型可知，P=3 /8 ；

（2）其中取出的兩個小球上標號之和能被3整除的基本事件有：

（1，2），（2，1），（2，4），（3，3），（4，2）共5種可得概率值5 /16 ；

解：甲、乙兩個盒子里各取出1個小球計為（X，Y）則基本事件

共有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），

（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）

總數為16種．

（1）其中取出的兩個小球上標號為相鄰整數的基本事件有：

（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6種

故取出的兩個小球上標號為相鄰整數的概率P=3 /8 ；

（2）其中取出的兩個小球上標號之和能被3整除的基本事件有：

（1，2），（2，1），（2，4），（3，3），（4，2）共5種

故取出的兩個小球上標號之和能被3整除的概率為5 /16 ；

正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE＝BF＝.動點P從E出發沿直線喜愛那個F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，反彈時反射等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）16（B）14（C）12(D)10

【解析】結合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞14次即可.

某化工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示）.如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米²，水池所有墻的厚度忽略不計，試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價。

【解析】本試題主要考查導數在研究函數中的運用。首先設變量

設寬為則長為，依題意，總造價

  當且僅當即取等號

（元）得到結論。

設寬為則長為，依題意，總造價

     ………6分

  當且僅當即取等號

（元）……………………10分

故當處理池寬為10米，長為16.2米時能使總造價最低，且最低總造價為38880元