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必做題部分

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

【填空題答案】

1．R，;      2．3;           3．1；         4．5；         5．；

6．2；       　          7．y=2x+3；     8．1.5；        9．；      10． ；

11．充要；               12．－1；       13．；     14．2．

二、解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15．（本小題滿分14分）

△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，ｂ，ｃ．向量m =,

n=滿足m//n.

（1）求的取值范圍；

（2）若實數(shù)x滿足abx=a+b，試確定x的取值范圍.

【解】(1)因為m//n，  所以，     ………………………2分

因為三角形ABC的外接圓半徑為1, 由正弦定理，得.

于是.

因為. 故三角形ABC為直角三角形.     ………………………5分

, 因為，

所以, 故.                   ………………………7分

(2) .                      ………………………9分

設，則，              …………………… 11分

，因為 ＜0，故在（1，]上單調遞減函數(shù).

所以.所以實數(shù)x的取值范圍是.                …………………… 14分

16．（本小題滿分14分）

在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，

平面PAD⊥平面ABCD.

（1）求證：PA⊥平面ABCD；

（2）若平面PAB平面PCD，問：直線l能否與平面ABCD平行？

請說明理由.

（1）【證明】因為∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.

而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,

所以AD⊥平面PAB,  所以AD⊥PA.         ………………3分              

同理可得AB⊥PA.                         ………………5分

由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,

所以PA⊥平面ABCD.                                          ………………………7分

（2）【解】（方法一）不平行.                                    ………………………9分

證明：假定直線l∥平面ABCD,

由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD,  所以∥CD.    …………………… 11分

同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.                                  …………………… 13分

這與AB和CD是直角梯形ABCD的兩腰相矛盾,

故假設錯誤，所以直線l與平面ABCD不平行.                     …………………… 14分

（方法二）因為梯形ABCD中AD∥BC,

所以直線AB與直線CD相交，設ABCD=T.                     …………………… 11分

由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.

同理T平面PAB.                                             …………………… 13分

即T為平面PCD與平面PAB的公共點，于是PT為平面PCD與平面PAB的交線.

所以直線與平面ABCD不平行.                                 …………………… 14分

17．（本小題滿分15分）

設a為實數(shù)，已知函數(shù).

（1）當a=1時，求函數(shù)的極值．

（2）若方程=0有三個不等實數(shù)根，求a的取值范圍．

【解】(1)依題有，

故.                                    ………………………2分

由

x

0

2

+

0

－

0

+

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

………………………5分

得在時取得極大值，在時取得極小值.  …………7分

(2) 因為，         ………………………9分

所以方程的兩根為a－1和a+1，

顯然，函數(shù)在x= a－1取得極大值，在x=a+1是取得極小值.      …………………… 11分

因為方程=0有三個不等實根，

所以 即 解得且.

故a的取值范圍是.                        …………………… 15分

18．（本小題滿分15分）

如圖，橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，M、N是橢圓右準線上的兩個動點，

且.

（1）設C是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓C的位置關系；

    （2）設橢圓的離心率為，MN的最小值為，求橢圓方程.

【解】（1）設橢圓的焦距為2c(c>0)，

則其右準線方程為x＝，且F₁(－c, 0),　F₂(c, 0).　……………2分

設M，

則＝

.                                ………………………4分

因為，所以，即.

    于是，故∠MON為銳角.

所以原點O在圓C外.                                        ………………………7分

    （2）因為橢圓的離心率為，所以a=2c，                      ………………………8分

    于是M ，且         ………………………9分

MN²＝(y₁－y₂)²＝y(tǒng)₁²+y₂²－2y₁y₂.  …………………… 12分

當且僅當 y₁＝－y₂＝或y₂＝－y₁＝時取“=”號，        …………………… 13分

所以(MN)_min= 2c＝2，于是c=1, 從而a＝2，b＝，

故所求的橢圓方程是.                                …………………… 15分

19．（本小題滿分16分）

下述數(shù)陣稱為“森德拉姆篩”，記為S．其特點是每行每列都是等差數(shù)列，第i行第j列的數(shù)記為

A_ij.

1     4     7     10    13    …

4     8     12    16    20    …

7     12    17    22    27    …

10    16    22    28    34    …

13    20    27    34    41    …

…   …   …   …

（1）證明：存在常數(shù)，對任意正整數(shù)i、j，總是合數(shù)；

（2）設 S中主對角線上的數(shù)1，8，17，28，41，…組成數(shù)列. 試證不存在正整數(shù)k和m

，使得成等比數(shù)列；

（3）對于（2）中的數(shù)列，是否存在正整數(shù)p和r ，使得成等差

數(shù)列．若存在，寫出的一組解（不必寫出推理過程）；若不存在，請說明理由．

       （1）【證明】因為第一行數(shù)組成的數(shù)列{A_1j}(j=1,2，…)是以1為首項，公差為3的等差數(shù)列，

所以A_{1 j}＝1+(j－1)×3＝3 j－2，

第二行數(shù)組成的數(shù)列{A_2j}(j＝1,2，…)是以4為首項，公差為4的等差數(shù)列，

所以A_{2 j}＝4+(j－1)×4＝4 j．                             ………………………2分

所以A_{2 j}－A_{1 j}＝4 j－(3 j－2)＝j＋2，

所以第j列數(shù)組成的數(shù)列{ A_ij}(i＝1,2，…)是以3 j－2為首項，公差為 j＋2的等差數(shù)列，

所以A_ij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4

＝(i＋3) (j＋2) 8．                                  ……………5分

故A_ij＋8=(i＋3) (j＋2)是合數(shù)．

所以當＝8時，對任意正整數(shù)i、j，總是合數(shù)      ………………………6分

（2）【證明】(反證法)假設存在k、m，，使得成等比數(shù)列，

即                                            ………………………7分

∵b_n＝A_nn ＝(n+2)²－4

∴

得，

即，       ………………………10分

又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，

∴，這與∈Z矛盾，所以不存在正整數(shù)k和m，使得成等比數(shù)列．……………………12分

（3）【解】假設存在滿足條件的，那么

即.                                  …………………… 14分

不妨令 得

所以存在使得成等差數(shù)列．                 …………………… 16分

（注：第（3）問中數(shù)組不唯一，例如也可以）

20．（本小題滿分16分）

如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數(shù)f(x)的定義域內，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長，則稱f(x)為“保三角形函數(shù)”.

（1）判斷下列函數(shù)是不是“保三角形函數(shù)”，并證明你的結論：

①  f(x)＝ ；    ②  g(x)＝sinx (x∈(0，π)).

（2）若函數(shù)h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數(shù)，求M的最小值.

（1）【答】f(x)＝ 是保三角形函數(shù)，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數(shù).

【證明】①  f(x)＝ 是保三角形函數(shù).

對任意一個三角形的三邊長a，b，c，則a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，

f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .

因為(＋)²＝a＋2＋b＞c＋2＞()²，所以＋＞.

同理可以證明：＋＞，＋＞.

所以f(a)、f(b)、f(c)也是某個三角形的三邊長，故 f(x)＝ 是保三角形函數(shù). ………………4分

②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數(shù). 取，顯然這三個數(shù)能作為一個

三角形的三條邊的長. 而sin＝1，sin＝，不能作為一個三角形的三邊長.

所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數(shù).                     ………………………8分

(2)【解】M的最小值為2.                                      …………………… 10分

(i)首先證明當M≥2時，函數(shù)h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數(shù).

對任意一個三角形三邊長a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，

則h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.

因為a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，

即lna＋lnb＞lnc.

同理可證明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.

所以lna，lnb，lnc是一個三角形的三邊長.

故函數(shù)h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函數(shù).         …………………… 13分

(ii)其次證明當0<M＜2時，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函數(shù).

當0<M＜2時，取三個數(shù)M，M，M²∈［M，＋∞)，

因為0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M²，所以M，M，M²是某個三角形的三條邊長，

而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能為某個三角形的三邊長，

所以h(x)＝lnx 不是保三角形函數(shù).                                                 

所以，當M＜2時，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函數(shù).

綜上所述：M的最小值為2.                                     …………………… 16分

附加題部分

21. （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填涂題目標記. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

E.    選修4－1：幾何證明選講

如圖，PA切⊙O于點，D為的中點，過點D引

割線交⊙O于、兩點．求證: ．

【證明】因為與圓相切于，

      所以，             ………………………2分

      因為D為PA中點，所以DP=DA，

所以DP²=DB?DC，即 ． ………………………5分

因為， 所以∽，                  ………………………8分

所以．                                       …………………… 10分

F.    選修4－2：矩陣與變換

已知在一個二階矩陣M的變換作用下, 點變成了點，點變成了點

，求矩陣M.

【解】設，                                        ………………………2分

則由，，                   ………………………5分

得                                              ………………………8分

所以       因此.                         …………………… 10分

G.    選修4－4：坐標系與參數(shù)方程

在極坐標系中，已知圓C的圓心坐標為C (2，)，半徑R=，求圓C的極坐標方程.

解法一：設P(ρ，θ)是圓上的任意一點，則PC= R=.                  ……………………4分

        由余弦定理，得ρ²+2²－2×2×ρcos(θ－)=5.                    ……………………8分

化簡，得ρ²－4ρcos(θ－)＋1=0，此即為所求的圓C的方程.    ……………………10分

解法二：將圓心C (2，)化成直角坐標為(1，)，半徑R=，        ……………………2分

     故圓C的方程為(x－1)²＋(y－)²=5.                            ……………………4分

     再將C化成極坐標方程，得(ρcosθ－1)²+(ρcosθ－)²=5.           ……………………6分

     化簡，得ρ²－4ρcos(θ－)＋1=0 ，此即為所求的圓C的方程.       ……………………10分

H.    選修4－5：不等式選講

已知，求證：.

【證明】因為            ………………………3分

                 ………………………7分

    所以.

    故.                                             …………………… 10分

22. 必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

投擲A，B，C三個紀念幣，正面向上的概率如下表所示.

紀念幣

A

B

C

概  率

a

a

將這三個紀念幣同時投擲一次, 設表示出現(xiàn)正面向上的個數(shù).

（1）求的分布列及數(shù)學期望；

（2）在概率(i=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求a的取值范圍.

【解】(1)是個正面向上,個背面向上的概率.其中的可能取值為0，1，2，3.

    ,

, 

,

.                                      ………………………4分

     所以的分布列為

的數(shù)學期望為

.      ………………………5分

(2) ,

,

.

由和，得,即a的取值范圍是.   …………………… 10分

23．必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

已知．用數(shù)學歸納法證明：.

【證明】（1）當n=2時，左邊－右邊＝，不等式成立.

………………………2分

（2）假設當n=k（）時，不等式成立，即