題目列表(包括答案和解析)
已知
，
求證：
．
已知
，求證：
已知
，求證：
已知
，求證：
已知
，求證：
必做題部分
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
【填空題答案】
1．
R，
;
2．3;
3．1；
4．5；
5．
；
6．2；
7．y=2x+3； 8．1.5； 9．
；
10．
；
11．充要；
12．－1； 13．
； 14．2．
二、解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，ｂ，ｃ．向量m =
,
n=
滿足m//n.
（1）求
的取值范圍；
（2）若實數x滿足abx=a+b，試確定x的取值范圍.
【解】(1)因為m//n， 所以
，
………………………2分
因為三角形ABC的外接圓半徑為1, 由正弦定理，得
.
于是
.
因為
. 故三角形ABC為直角三角形. ………………………5分
, 因為
，
所以
, 故
. ………………………7分
(2)
.
………………………9分
設
，則
，
…………………… 11分
，因為
＜0，故在（1，
]上單調遞減函數.
所以
.所以實數x的取值范圍是
.
…………………… 14分
16．（本小題滿分14分）
在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAD⊥平面ABCD.
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）若平面PAB
平面PCD
，問：直線l能否與平面ABCD平行？
請說明理由.
（1）【證明】因為∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.
而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,
所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA. ………………3分
同理可得AB⊥PA. ………………5分
由于AB、AD
平面ABCD，且ABAD=C,
所以PA⊥平面ABCD. ………………………7分
（2）【解】（方法一）不平行. ………………………9分
證明：假定直線l∥平面ABCD,
由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以
∥CD. ……………………
11分
同理可得l∥AB, 所以AB∥CD. …………………… 13分
這與AB和CD是直角梯形ABCD的兩腰相矛盾,
故假設錯誤，所以直線l與平面ABCD不平行. …………………… 14分
（方法二）因為梯形ABCD中AD∥BC,
所以直線AB與直線CD相交，設ABCD=T.
…………………… 11分
由T
CD，CD平面PCD得T平面PCD.
同理T平面PAB.
…………………… 13分
即T為平面PCD與平面PAB的公共點，于是PT為平面PCD與平面PAB的交線.
所以直線與平面ABCD不平行.
…………………… 14分
17．（本小題滿分15分）
設a為實數，已知函數
.
（1）當a=1時，求函數
的極值．
（2）若方程=0有三個不等實數根，求a的取值范圍．
【解】(1)依題有
，
故
.
………………………2分
由
x
0
2
+
0
－
0
+
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
………………………5分
得在
時取得極大值
，在
時取得極小值
. …………7分
(2) 因為
，
………………………9分
所以方程
的兩根為a－1和a+1，
顯然，函數在x= a－1取得極大值，在x=a+1是取得極小值. …………………… 11分
因為方程=0有三個不等實根，
所以
即
解得
且
.
故a的取值范圍是
.
…………………… 15分
18．（本小題滿分15分）
如圖，橢圓
(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，M、N是橢圓右準線上的兩個動點，
且
.
（1）設C是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓C的位置關系；
（2）設橢圓的離心率為
，MN的最小值為
，求橢圓方程.
【解】（1）設橢圓的焦距為
則其右準線方程為x＝
，且F1(－c, 0), F2(c,
0). ……………2分
設M
，
則
＝
.
………………………4分
因為，所以
，即
.
于是
，故∠MON為銳角.
所以原點O在圓C外. ………………………7分
（2）因為橢圓的離心率為，所以a=
于是M 
，且
………………………9分
MN2＝(y1－y2)2＝y12+y22－2y1y2
. …………………… 12分
當且僅當 y1＝－y2＝
或y2＝－y1＝時取“=”號， ……………………
13分
所以(MN)min=
故所求的橢圓方程是
.
…………………… 15分
19．（本小題滿分16分）
下述數陣稱為“森德拉姆篩”，記為S．其特點是每行每列都是等差數列，第i行第j列的數記為
Aij.
1 4 7 10 13 …
4 8 12 16 20 …
7 12 17 22 27 …
10 16 22 28 34 …
13 20 27 34 41 …
… … … …
（1）證明：存在常數
，對任意正整數i、j，
總是合數；
（2）設 S中主對角線上的數1，8，17，28，41，…組成數列
. 試證不存在正整數k和m
，使得
成等比數列；
（3）對于（2）中的數列，是否存在正整數p和r 
，使得
成等差
數列．若存在，寫出
的一組解（不必寫出推理過程）；若不存在，請說明理由．
（1）【證明】因為第一行數組成的數列{A1j}(j=1,2，…)是以1為首項，公差為3的等差數列，
所以A1 j＝1+(j－1)×3＝3 j－2，
第二行數組成的數列{A2j}(j＝1,2，…)是以4為首項，公差為4的等差數列，
所以A2 j＝4+(j－1)×4＝4 j． ………………………2分
所以A2 j－A1 j＝4 j－(3 j－2)＝j＋2，
所以第j列數組成的數列{ Aij}(i＝1,2，…)是以3 j－2為首項，公差為 j＋2的等差數列，
所以Aij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4
＝(i＋3) (j＋2) 8． ……………5分
故Aij＋8=(i＋3) (j＋2)是合數．
所以當
＝8時，對任意正整數i、j，總是合數
………………………6分
（2）【證明】(反證法)假設存在k、m，
，使得
成等比數列，
即
………………………7分
∵bn＝Ann ＝(n+2)2－4
∴
得
，
即
，
………………………10分
又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，
∴
，這與
∈Z矛盾，所以不存在正整數k和m，使得成等比數列．……………………12分
（3）【解】假設存在滿足條件的
，那么
即
.
…………………… 14分
不妨令
得
所以存在
使得成等差數列．
…………………… 16分
（注：第（3）問中數組
不唯一，例如
也可以）
20．（本小題滿分16分）
如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數f(x)的定義域內，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長，則稱f(x)為“保三角形函數”.
（1）判斷下列函數是不是“保三角形函數”，并證明你的結論：
① f(x)＝ ； ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).
（2）若函數h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數，求M的最小值.
（1）【答】f(x)＝ 是保三角形函數，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數.
【證明】① f(x)＝ 是保三角形函數.
對任意一個三角形的三邊長a，b，c，則a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .
因為(＋)2＝a＋2＋b＞c＋2＞()2，所以＋＞.
同理可以證明：＋＞，＋＞.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某個三角形的三邊長，故 f(x)＝ 是保三角形函數. ………………4分
②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數. 取
，顯然這三個數能作為一個
三角形的三條邊的長. 而sin
＝1，sin
＝，不能作為一個三角形的三邊長.
所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數. ………………………8分
(2)【解】M的最小值為2. …………………… 10分
(i)首先證明當M≥2時，函數h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數.
對任意一個三角形三邊長a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
則h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.
因為a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna＋lnb＞lnc.
同理可證明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.
所以lna，lnb，lnc是一個三角形的三邊長.
故函數h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函數. …………………… 13分
(ii)其次證明當0<M＜2時，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函數.
當0<M＜2時，取三個數M，M，M2∈［M，＋∞)，
因為0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某個三角形的三條邊長，
而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能為某個三角形的三邊長，
所以h(x)＝lnx 不是保三角形函數.
所以，當M＜2時，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函數.
綜上所述：M的最小值為2. …………………… 16分
附加題部分
21. （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填涂題目標記. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
E.
選修4－1：幾何證明選講
如圖，PA切⊙O于點
，D為
的中點，過點D引
割線交⊙O于
、兩點．求證: 
．
【證明】因為與圓相切于，
所以
， ………………………2分
因為D為PA中點，所以DP=DA，
所以DP2=DB?DC，即
． ………………………5分
因為
，
所以
∽
，
………………………8分
所以． ……………………
10分
F. 選修4－2：矩陣與變換
已知在一個二階矩陣M的變換作用下, 點
變成了點
，點
變成了點
，求矩陣M.
【解】設
，
………………………2分
則由
，
，
………………………5分
得
………………………8分
所以
因此
.
…………………… 10分
G. 選修4－4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，已知圓C的圓心坐標為C (2，
)，半徑R=
，求圓C的極坐標方程.
解法一：設P(ρ，θ)是圓上的任意一點，則PC=
R=. ……………………4分
由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－)=5.
……………………8分
化簡，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1=0，此即為所求的圓C的方程. ……………………10分
解法二：將圓心C (2，)化成直角坐標為(1，
)，半徑R=，
……………………2分
故圓C的方程為(x－1)2＋(y－)2=5.
……………………4分
再將C化成極坐標方程，得(ρcosθ－1)2+(ρcosθ－)2=5. ……………………6分
化簡，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1=0 ，此即為所求的圓C的方程. ……………………10分
H. 選修4－5：不等式選講
已知
，求證：
.
【證明】因為
………………………3分
………………………7分
所以
.
故.
…………………… 10分
22. 必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
投擲A，B，C三個紀念幣，正面向上的概率如下表所示
.
紀念幣
A
B
C
概 率
a
a
將這三個紀念幣同時投擲一次, 設
表示出現正面向上的個數.
（1）求的分布列及數學期望；
（2）在概率
(i=0，1，2，3)中, 若
的值最大, 求a的取值范圍.
【解】(1)
是
個正面向上,
個背面向上的概率.其中的可能取值為0，1，2，3.
,
,
,
.
………………………4分
所以的分布列為
的數學期望為
.
………………………5分
(2) 
,
,
.
由
和
，得
,即a的取值范圍是
. …………………… 10分
23．必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
已知
．用數學歸納法證明：
.
【證明】（1）當n=2時，左邊－右邊＝
，不等式成立.
………………………2分
（2）假設當n=k（
）時，不等式成立，即
同步練習冊答案
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