題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）在一個不透明的盒子中，放有標號分別為1，2，3的三個大小相同的小球，現從這個盒子中，有放回地先后取得兩個小球，其標號分別為
，記
． （1）求隨機變量
的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（2）求隨機變量的分布列和數學期望．
（本小題滿分12分）
在一個盒子中，放有標號分別為1，2，3的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為
、
，設
為坐標原點，點
的坐標為
，記
．
（I）求隨機變量
的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（II）求隨機變量的分布列和數學期望．
（本小題滿分12分）
在一個盒子中放有標號分別為1、2、3的三張卡片，現從這個盒子中有放回地先后抽取兩張卡片，并記它們的標號分別為
，設
，
（1）求事件“
”發生的概
率；
（2）求
的最大值，并求事件“取得最大值”的概率。
（本小題滿分12分）
一個口袋中裝有大小相同的
個紅球（
且
）和
個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球的顏色不同則為中獎。
（Ⅰ）試用表示一次摸獎中獎的概率
；
（Ⅱ）記從口袋中三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為
，求的最大值？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，將個白球全部取出后，對剩下的個紅球全部作如下標記：記上
號的有個（
），其余的紅球記上
號，現從袋中任取一球。
表示所取球的標號，求的分布列、期望和方差。
（本小題滿分12分）
在一個盒子中放有標號分別為1、2、3的三張卡片，現從這個盒子中有放回地先后抽取兩張卡片，并記它們的標號分別為
，設
，
（1）求事件“
”發生的概率；
（2）求
的最大值，并求事件“取得最大值”的概率。
1～10：C C B C A B A B D A
11、
12、
13、 
14、>
15、
（提示：15.
，又
）
16.解：（1）
………3（分）
由
=0即
即對稱中心為
…………6（分）
（2）已知b2=ac
即
的值域為
綜上所述，
，故值域為…12（分）
17．解：（1）
的最大值為6，此時有
或
，故所求的概率為
.
…………5（分）
（2）
的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列為：
0
1
2
3
4
5
6
……………10（分）
……12（分）
18.解：（1）
，
又
…………5（分）
（2）當
時，則
其表面積
當
與
不垂直時，則
，否則由（1）知，可得（矛盾）.
當
時，
與
不能垂直，否則
，從而
，與
矛盾.
，從而可得
…………①
由得，
…………②
根據①、②得：
，從而導致
矛盾.
，從而得到
當時，
當時，
，即四面體的各個面是全等的三角形.
其表面積為
.
……………12（分）
19.解：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為
…………（3分）
（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得
因為x1>0，所以a>b.
猜測：當且僅當a>b，且
時，每年年初魚群的總量保持不變.
……（6分）
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*， 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0<xn<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1，而x1∈(0, 2)，所以
由此猜測b的最大允許值是1. ……………（10分）
下證 當x1∈(0, 2) ，b=1時，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①當n=1時，結論顯然成立.
②假設當n=k時結論成立，即xk∈(0, 2),則當n=k+1時，xk+1=xk(2－xk)>0.
又因為xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0, 2)，故當n=k+1時結論也成立.
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
綜上所述，為保證對任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，則捕撈強度b最大允許值是1.…（13分）
20. 解：(1)設雙曲線方程為
，由橢圓
求得兩焦點為
，
對于雙曲線
，又
為雙曲線
的一條漸近線
解得 
，
雙曲線的方程為
……………（5分）
(2)解法一：
由題意知直線
的斜率
存在且不等于零。
設的方程：
，
則
在雙曲線上，
同理有：
若
則直線過頂點，不合題意.
是二次方程
的兩根.
，
此時
.所求
的坐標為
.
…………（13分）
解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零
設的方程：
，則.
，
.
，
，
，
又
，
，即
將
代入得
，否則與漸近線平行。
。
.
21.（1）
故
在
上是單調遞增函數，在
上是單調遞減函數
……4（分）
（2）①
是公差為1的等差數列，且首項為
故
……………9（分）
②由（1）知，當
時，
在
是單調遞減函數，又
，
，即
.
………13（分）
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