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如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），且經過點N（2，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及點A、B、C的坐標；
（2）若直線y=kx+t經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點P在拋物線的對稱軸x=1上運動，請探索：在x軸上方是否存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直線為x軸．以B點為原點建立平面直角坐標系．將平行四邊形ABCD繞B點逆時針方向旋轉，使C點落在y軸的正半軸上，C、D、A三點旋轉后的位置分別是P、Q和T三點．
（1）求證：點D在y軸上；
（2）若直線y=kx+b經過P、Q兩點，求直線PQ的解析式；
（3）將平行四邊形PQTB沿y軸的正半軸向上平行移動，得平行四邊形P′Q′T′B′，Q、T、B依次與點P′、Q′、T′、B′對應）．設BB′=m（0＜m≤3）．平行四邊形P′Q′T′B′與原平行四邊形ABCD重疊部分的面積為S，求S關于m的函數關系式．