如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），且經(jīng)過點(diǎn)N（2，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）若直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?zhí)剿鳎涸趚軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ACO與sin∠BCO的乘積；
（3）在線段BC邊上是否存在點(diǎn)P，使得以B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使|PC-PB|的值最大，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．